Цепочка фермионов

[quantum newbie]

Добрый день.

Задался решить такую задачу: есть $N$ узлов, выстроенных в ряд, а точнее, имеется бесконечная цепочка узлов.
На каждом узле частица может располагаться в одном только состоянии. Тогда один частица может быть в системе в $N$ возможных состояниях (в пределе, в бесконечном счётном числе состояний).

Рассматривается такая система с неопределённым числом ферми-частиц. Размерность пространства состояний (Фок для описанного одночастичного состояния) $2^N$, в пределе состояний континуально много. Гамильтониан системы:

$$\hat H = \sum_k (a^\dagger_k a_{k+1} + a^\dagger_{k+1} a_k)$$

Интересует энергетический спектр.

Как решить такую задачу?

В конечномерии вроде схема понятна: используем базис из $2^N$ состояний, выписываем $\hat H\psi = E\psi$ в этом базисе и решаем вековое уравнение.

(Оффтоп)

Собственно, решение.

$$\left\langle \beta_1\ldots \beta_N \right| \hat H \left| \alpha_1 \ldots \alpha_N \right\rangle = \sum_{k=1}^\infty \delta_{\beta_k,\alpha_{k+1}}\delta_{\beta_{k+1},\alpha_k}(1-\delta_{\alpha_k,\beta_k}), \;\; \delta_{a,b}=\begin{cases}1, \; a=b \\ 0, \; a\neq b \end{cases}$$

Далее я построил в Wolfram Mathematica решение:

bin[n_] := Flatten[Array[List, Table[2, {n}], Table[0, {n}]], n - 1];

H[n_] := Table[
  Sum[d[\[Beta][[k]], \[Alpha][[k + 1]]] d[\[Beta][[
      k + 1]], \[Alpha][[k]]] d[\[Beta][[k]], \[Alpha][[k]]], {k, 1, n - 1}]
  , {\[Alpha], bin[n]}, {\[Beta], bin[n]}]

d[a_, b_] := If[a == b, 1, 0]

ArrayPlot[H[#]]& /@ Range[6] (* строим красивые фрактальчики *)

f[n_] := Max[\[Epsilon] /. 
   NSolve[Det[H[n] - \[Epsilon] IdentityMatrix[2^n]] == 0, \[Epsilon],
     Reals]]

ListPlot[Log /@ Drop[f /@ Range[8], 2]]

как видно, энергия растёт экспоненциально быстро с ростом числа узлов, то есть на один узел в пределе больших $N$ приходится бесконечно много энергии. Я не понимаю физики процесса...

А что делать в предельном случае $N\to\infty$?
Очень уж хочется взять фурье-образ задачи и перейти к рассмотрению только одного узла и его взаимодействия с соседями. На это наталкивает то, что оператор трансляции на $m$ ячеек $\hat T_m$ коммутирует с $\hat H$, а значит, имеется некоторая сохраняющаяся величина — волновой вектор $\hat\omega$, который принимает значения где-то из своей зоны Бриллюэна $\left[0,2\pi\right)$, по крайней мере так мне говорит интуиция.
Что дальше делать — не знаю.
К тому же такой подход неплохой задел на будущее, когда будет рассматриваться модель узлов разных сортов.

Думается мне, что эта модель именная и где-то уже когда-то кем-то, а может быть и неоднократно, рассматривалась. Но в пока что на глаза не попадалась.

[warlock66613]

quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):

энергия растёт экспоненциально быстро с ростом числа узлов, то есть на один узел в пределе больших $N$ приходится бесконечно много энергии. Я не понимаю физики процесса...

Я думаю нельзя понять физику процесса, не зная физики гамильтониана. Я не вижу в бесконечной энергии ничего странного: у вас амплитуда прыжка бесконечная в гамильтониане, то есть, образно выражаясь, фермионы бешено носятся туда-обратно. Конечно энергия будет бесконечная.

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):

Как решить такую задачу?

Как? Легко! Введите новые операторы

$$ b_k = A\sum_j e^{ik_jn}a_n $$

$$ b^+_k =A^* \sum_j e^{-ik_jn}a^+_n $$

Подберите коэффициент $A$ так, чтобы для новых операторов коммутационные соотношения были такими же, как для старых. Еще придется проанализировать, какой должен быть набор чисел $k_j$. Все это лучше делать для конечного числа узлов $N$ и замкнуть цепочку в кольцо. В самом конце вычислений можете устремить $N$ к бесконечности.

Гамильтониан в результате станет вида

$$ \sum_k E_k b^+_kb_k $$

С таким гамильтонианом ответ уже очевиден.

Вообще любые билинейные по оператором рождения/уничтожения гамильтонианы преобразуются к такому виду. Для этого нужно только перейти к новым операторам рождения/уничтожения, являющимся линейными комбинациями старых. Естественно, коэффициенты в линейных комбинациях нужно будет найти. В заданной же задаче коэффициенты сразу ясны из трансляционной симметрии.

-- Чт ноя 07, 2013 09:29:11 --

quantum newbie в сообщении #785887 писал(а):

Но в пока что на глаза не попадалась.

Метод ЛКАО в любом учебнике по твердому телу.

[quantum newbie]

спасибо, но я не понял, как вы ввели экспоненту: что там стоит, по чем идет сумма, почему она дискретна.

после перехода в бесконечность получилась у меня бесконечная энергия даже в пересчете на ячейку!
что это?

что такое лкао?

[Freude]

quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):

что такое лкао?

ЛКАО - метод линейной комбинации атомных орбиталей.
По теме посмотрите модель Хаббарда.
А почему $2^N$ состояний?
При вашем Гамильтониане должна получиться матрица $N$ на $N$, все элементы которой нули, кроме второй верхней и нижней диагоналей, на которых расположены единицы.

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):

после перехода в бесконечность получилась у меня бесконечная энергия даже в пересчете на ячейку!

Не, уж в пересчете на ячейку не должно быть. Параметр $A$ неверно определен. Он должен быть пропорционален $1/ \sqrt{N}$ что и должно "убить" бесконечность. Проверьте коммутационные соотношения новых операторов. Могла бы получиться АДДИТИВНАЯ бесконечность, если бы у Вас операторы не были нормально упорядочены. Но кого интересуем ПОСТОЯННАЯ добавка к энергии...

-- Чт ноя 07, 2013 19:25:58 --

Freude в сообщении #785981 писал(а):

По теме посмотрите модель Хаббарда.

Модель Хаббарда -- это "из другой оперы". Там, хоть и в крайне упрощенном виде, есть электростатическое взаимодействие электронов друг с другом. Поэтому гамильтониан содержит произведения ЧЕТЫРЕХ а не только двух операторов рождения/уничтожения. А это уже совсем-совсем другой сюжет.

-- Чт ноя 07, 2013 19:29:42 --

quantum newbie в сообщении #785979 писал(а):

но я не понял, как вы ввели экспоненту: что там стоит, по чем идет сумма, почему она дискретна.

Потому что набор волновых векторов в решетке конечного объема тоже конечен (и при этом дискретен). Обычное решеточное (!) фурье-преобразование. Никак иначе и быть не может, нельзя взаимооднозначно отобразить конечный набор на континууальный. Континуум (в пределах зоны Бриллюэна) полчается только в пределе $N \to \infty$.

-- Чт ноя 07, 2013 19:46:14 --

Freude в сообщении #785981 писал(а):

А почему $2^N$ состояний?

Каждый узел может быть занят или не занят (правда, это не есть собственные функции гамильтониана). Можно представить двоичным числом из $N$ бит. Естественно, это не есть набор ОДНОЧАСТИЧНЫХ состояний, это набор всех состояний. Вот одночастичных будет действительно $N$ штук. Одну единичку (и только одну) можно расставить по $N$ узлам $N$ способами.

[Freude]

Цитата:

Каждый узел может быть занят или не занят (правда, это не есть собственные функции гамильтониана). Можно представить двоичным числом из $N$ бит. Естественно, это не есть набор ОДНОЧАСТИЧНЫХ состояний, это набор всех состояний. Вот одночастичных будет действительно $N$ штук. Одну единичку (и только одну) можно расставить по $N$ узлам $N$ способами.

Т.е. задача поставленная автором не одночастичная, содержит переменное число частиц, я правильно понял?

[Alex-Yu]

Freude в сообщении #786026 писал(а):

Т.е. задача поставленная автором не одночастичная, содержит переменное число частиц, я правильно понял?

Все вторично-квантованные задачи многочастичные (конечно, одна частица --- частный случай, подпространство всего многочастичного пространства). Правда здесь, в силу билинейного по ферми-операторам характера гамильтониана, многочастичность тривиальна. Но эта тривиальность становится явной только после правильного унитарного преобразования. Переход к линейной комбинации "старых" ферми-операторов --- фактически есть унитарное преобразование. Его можно (но толком не нужно) и явно построить в виде экспоненты от эрмитового оператора с множителем i (т.е. косоэрмитового в итоге). Посмотрите так называемые преобразования Боголюбова. Но преобразования Боголюбова обычно рассматриваются в несколько ином (и несколько менее тривиальном) контексте.

[lucien]

А почему бы не записать гамильтониан в виде

$$ H=(a_1^\dag,a_2^\dag,\ldots,a_n^\dag)\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & \ldots && 0 \\ 1 & 0 & 1 & &\ldots \\ 0 & 1 & 0 & 1&\ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots&\ldots\\ 0 & \ldots & &1 & 0 \end{array}\right)(a_1,a_2,\ldots,a_n)^{\mbox{т}} $$

и задача сводится к диагонализации симметричной матрицы?

[Alex-Yu]

lucien в сообщении #786033 писал(а):

А почему бы не записать гамильтониан в виде

А это то же самое Только проще еще в кольцо цепочку замкнуть (на физику это не влияет), что даст еще единички в правом верхнем и левом нижнем углах. Тогда дискретное преобразование Фурье --- это и есть диагонализация такой матрицы.

[lucien]

Alex-Yu в сообщении #786035 писал(а):

А это то же самое

Симметричная матрица диагонализируется ортогональным преобразованием. Комплексным коэффициентам тут взяться неоткуда.
И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.

[Alex-Yu]

lucien в сообщении #786043 писал(а):

Симметричная матрица диагонализируется ортогональным преобразованием. Комплексным коэффициентам тут взяться неоткуда.
И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.

Ну дык $e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$. Да, можно все сделать в действительном варианте. Но в комплексном варианте --- физичнее. Просто потому, что базисные функции неприводимых представлений абелевой группы (здесь --- трансляций) комплексны. Из того, что матрица диаганализуется действительным ортогональным преобразованием, вовсе даже не следует, что она не диагонализуется комплексным унитарным. Всегда есть много разных преобразований диаганализующих матрицу

-- Чт ноя 07, 2013 21:59:26 --

lucien в сообщении #786043 писал(а):

И если нужно найти лишь спектр, то задача еще проще -- найти с.з. этой матрицы.

А вот это --- неверно. Собственные числа этой матрицы дают лишь одночастичные уровни энергии. Есть еще многочастичные. Впрочем, многочастичные В ДАННОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ легко получаются из одночастичных.

[lucien]

Alex-Yu в сообщении #786057 писал(а):

Впрочем, многочастичные В ДАННОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ легко получаются из одночастичных.

Именно это и имелось в виду. Утверждение довольно очевидное.

[Alex-Yu]

lucien в сообщении #786063 писал(а):

Именно это и имелось в виду. Утверждение довольно очевидное.

Вы бы лучше, если уж на то пошло, написали формулу для собственных чисел этой матрицы. Они находятся довольно просто. Именно из трансляционной инвариантности и теории неприводимх представлений групп (и тут без комплексных чисел не обойтись). Хотя можно, конечно, и "кустарным" способом, "обойдя" при этом комплексные числа. А то самоочевидные общие утверждения --- это скучно.

[lucien]

Alex-Yu в сообщении #786067 писал(а):

Вы бы лучше, если уж на то пошло, написали формулу для собственных чисел этой матрицы

Вообще-то, это задача ТС. Но если на то пошло, то я бы решала р.с.

$$ D_n=\lambda D_{n-1}-D_{n-2}\,,\quad D_1=-\lambda,\, D_2=\lambda^2-1. $$

А эта задача уже сводится к решений диффура с постоянными коэффициентами.