Ниже предложено описание множества многополюсных чисел с определенной на нем мультиарной операцией. Вопрос для начала дискуссии: имеет ли такая система счета перспективу быть использованной в естественных науках?
Знак многополюсного числа (далее числа) может быть не только + или -, но и любым другим. Знак числа - наименование его полюса. Числа имеющие разные знаки при операции их суммирования имеют взаимоуничтожительный характер в силу величин их модулей. Числа имеющие одинаковый знак при операции их суммирования имеют взаимодополняющий характер в силу величин их модулей. Взаимоуничтожение многих чисел с многими разными знаками при операции их суммирования проистекает одновременно, а не в какой-либо очередности, то есть в стиле одновременного боя "все против всех", а не в стиле чемпионата из нескольких последовательных парных боев. Очевидно, что сумма всегда будет иметь знак наибольшого по модулю из складываемых чисел, если участвовали в суммировании только числа с разными знаками. Так же для такой суммы очевидно, что ее модуль будет равен величине наибольшего модуля суммируемых чисел из которого отнят второй по величине модуль суммируемых чисел.
Знак произведения многополюсных чисел однозначно определить нельзя. Вариаций знака произведения ровно столько сколько полюсов использует соответствующая многополюсная алгебра. Модуль произведения многополюсных чисел вычисяется традиционно - последовательным попарным умножением модулей чисел, входящих в произведение.
Дальнейшие рассуждения будут проведены на частном случае многополюсных чисел - на множестве трехполюсных чисел.
Рассмотрим множество вещественных чисел имеющих в отличие от традиционного представления о вещественных числах не два, а три полюса, то есть три знака:
1. положительные числа принадлежат положительному полюсу и имеют знак +;
2. отрицательные числа принадлежат отрицательному полюсу и имеют знак -;
3. третьи соревновательные числа принадлежат третьему соревновательному полюсу и имеют знак |.
Таким образом сумму трех чисел, имеющих разные знаки +,- и |, и модули соответственно a,b и c, мы можем записать следующим образом:
Каким образом вычислять сумму заданных чисел?
Ситуация суммирования чисел одного знака тривиальна и сводится к суммированию их модулей с сохранением у суммы знака этих чисел.
Ситуация суммирования двух чисел с разными знаками менее тривиальна, но хорошо известна из алгебры вещественных двухполюсных чисел (отрицательных и положительных) - от наибольшего модуля этих чисел отнимается другой модуль, и присваивается знак числа с наибольшим модулем. В случае равенства модулей этих чисел не имеет значения от какого модуля отнимать другой, и сумме не приравнивается ни какой знак (сумма равна числу не принадлежащему ни одному из полюсов - нолю).
Ситуация суммирования трех чисел разных полюсов наиболее нетривиальна. Обратим внимание, что операция суммирования двух чисел с разными знаками напоминала взаимоуничтожение тех частей модулей чисел, которые могли быть равными и после этого либо оставалась часть модуля числа с наибольшим модулем, либо не оставалось ничего в случае равенства модулей обоих чисел. Ровно так же происходит и суммирование трех чисел разных полюсов - сначала происходит одновременное взаимоуничтожение тех частей модулей всех трех чисел, которые могут быть равны. После такого уничтожения возможны варианты:
1. Ничего не осталось, в случае если модули всех трех чисел были равны;
2. Имеется только остаток модуля числа с наибольшим модулем, в случае если модули двух других чисел равны;
3. Имеется остаток модуля числа с наибольшим модулем, и остаток числа с ненаибольшим но и не наименьшим модулем.
В случае ситуации 1 очевидно, что сумма равна нолю. В случае ситуации 2 сумма будет равна по модулю этому остатку от модуля наибольшего числа, и принадлежать полюсу этого числа, то есть иметь его знак. В случае ситуации 3 имеет смысл рассмотреть дальнейшее взаимоуничтожение имеющихся остатков от модулей двух чисел: от остатка модуля числа с наибольшим модулем отнимается остаток модуля числа с ненаибольшим но и ненаименьшим модулем. Получившийся в результате остаток от остатка модуля числа с наибольшем модулем равен модулю суммы трех чисел. Сама же сумма принадлежит тому же полюсу, что и число с наибольшим модулем, то есть имеет его знак. Исключение составляет случай, когда оба остатка модулей равны, тогда сумма трех чисел после их взаимного уничтожения без остатка оказывается равной нолю.
Несколько примеров суммирования в числах:
Необходимо отметить, что суммирование многополюсных чисел сохраняет свойства коммутативности и дистрибутивности по отношению к действию умножения.
Ассоциативностью действие суммирования многополюсных чисел не обладает. Поэтому даже если расширять определение групп до множеств с определенными на них мультиарными операциями, множество многополюсных чисел с определенной на них вышеописанным образом операцией сложения, группой являться не будет. Однако, по моему мнению, это не исключает возможности использования системы счета многополюсными числами, как безальтернативной в некоторых видах есественнонаучных изысканий, о чем будет сказано в заключительной части сообщения.
Каким образом вычислять произведение заданных чисел?
Как говорилось выше однозначного конечного выражения для произведения многополюсных чисел нет. Нет его и для трехполюсных чисел, будет три варианта. Самое удивительное на первый взгляд, что нет однозначого конечного выражения и для произведения двухполюсных чисел, хотя это хорошо знакомые нам вещественные числа в их стандартном понимании. Здесь таких вариантов будет два. То есть беря численный пример, мы имеем:
Чтобы понять смысл этого абсурдного на первый взгляд выражения, обратимся к причине ввода в математику комплексных чисел. Причина в неоправданном произвольном выборе следующего выражения:
Потому как имея множество чисел принадлежащих двум равноправным полюсам (отрицательному и положительному), мы отдаем привелегию положительному полюсу иметь в своей принадлежности все квадраты любых чисел.
Вполне мог бы иметь место и другой неоправданный ничем произвольный выбор:
И строго говоря еще пару неоправданных произвольных выборов:
Однако есть выражение свободное от использования неоправданного произвольного выбора:
(1)
И как мы видим, это выражение не имеет однозначного значения для произведения двух чисел, а имеет два разных значения.
Выход из этой ситуации с сохранением однозначности произведения двух натуральных чисел был предложен Эйлером и заключался во введении комплексных чисел. Однако это был достаточно компромиссный вариант соединения результатов двух ничем не оправданных произвольных выборов с игнорированием двух других неоправданных произвольных выборов в одну алгебраическую систему путем разделения модуля числа на две части - одну подчиняющуюся первому выбору, а вторую подчиняющуюся второму выбору. Однако произвол тем самым не был устранен абсолютно, так как во-первых как говорилось выше были проигнорированы еще два возможных выбора, и во-вторых один произвольный выбор в такой алгебре сохранялся для реальной и для мнимой частей числа по-отдельности.
Мультиполюсные числа не привлекают к дейстиям над собой произвольного выбора знака даже в случае, когда это двухполюсные числа, то есть традиционные вещественные. Единственную поправку которую тут необходимо сделать - в правилах действий над ними. Действие суммирования над двухполюсными числами остается таким-же как и в традиционной алгебре, а вот действие умножения становится не определенным однозначно, и имеет до двух численных вариантов решения. То есть используя выражение (1) для чисел с другими модулями имеем:
Как видим неоднозначность произведения имеется лишь в смысле неоднозначности его знака. Модуль же произведения всегда определен однозначно. Поэтому касаемо произведения, в случае необходимости использовать однозначный результат, имеет смысл говорить только лишь о его модуле.
Вернемся к вопросу о том, как перемножить три числа принадлежащих к разным полюсам. Запишем выражение аналогичное (1):
(2)
Подставляя в выражение (2) числа с разными модулями, мы увидим независимость модуля произведения от знаков, которые имеют числа. Знак же произведения трех чисел всегда имеет три варианта реализации. С определенностью мы опять же можем говорить лишь о модуле произведения.
В заключении введения в систему многополюсных чисел, хотелось бы обратить внимание на то, что мультипликативное действие над ними так-же как и в алгебрах с неоправданным произвольным выбором знака этого действия, сохраняет свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, при условии, что под мультипликативным действием понимается вычисление модуля их произведения.
И несколько слов об общей целессобразности рассмотрения системы многополюсных чисел. Таковая всегда есть, когда данный математический аппарат удается использовать для описания каких-либо физических процессов. Совершенно очевидно, что описанная выше система чисел единственно подходит к описанию процессов в которых имеет место соревнование с аннигиляцией трех либо более субстанций. К примеру с задачей подсчета остатка после столкновения пучка электронов с пучком позитронов легко справляется алгебра традиционных вещественных чисел, но вот в случае, когда бы это было столкновение пучков трех разных взаимноаннигилирующих частиц уже потребовался бы аппарат трехполюсных чисел. Кроме того есть существенная опасность того, что изучая объекты микромира по косвенным данным приборов размеченных в шкалах традиционных вещественных чисел, и не принимая для логического рассуждения возможности разметки шкал приборов в системе многополюсных чисел, ученые теоретически могут упустить из вида не только некоторые принципы работы микромира, но и целые виды элементарных частиц.
С уважением, quest.
ом
выводится свойств сложения (ассоциативность, наличие нуля и наличие противоположных) и дистрибутивности умножения.
противоположным элементом является 
,
означает в контексте обсуждения свойств сложения лишь то, что 
, так как подобное выражение нарушало бы симметрию и равноправие 
и 
(2)
стала натуральным числом?
должно быть 
получатся опять обычные целые числа.
? Тогда вам всего-то что и нужно, так это определить ваше 
, а всё остальное индуцируется.
на кольцо, у которого в качестве основного множества — множество ваших полюсов-знаков.
на 
и