2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 11:48 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #783450 писал(а):
Mig29 в сообщении #783221 писал(а):
Производные произвольных функций думаю так искать не получиться.

Произвольная функция сводится к полиному.


Только к бесконечному.

g______d в сообщении #783968 писал(а):
Просто если понимать в совсем широком смысле, то вопрос "как считать производные функций от матриц" равносилен вопросу "как считать производные отображений из $\mathbb R^{n^2}$ в $\mathbb R^{n^2}$" и, тем самым, не содержателен. Скорее всего имелось в виду что-то вроде "как сосчитать производную корня из матрицы, если мы знаем производную корня" и т. п.


Интерес составляет обобщение функции действительного аргумента на матричный аргумент. В частности как выглядит производная степенной функции (более всего интересны отрицательные целые степени), логарифма и т.д. Но интересен будет более общий случай. Например, функция транспонирования.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 16:18 
Аватара пользователя
Mig29 в сообщении #784956 писал(а):
к бесконечному

Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 16:31 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #785108 писал(а):
Mig29 в сообщении #784956 писал(а):
к бесконечному

Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.


Вы хотите сказать, что произвольная функция (имеющая действительный аналог) имеет конечное число отличных от нуля (нулевой матрицы) производных?

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 17:48 
Аватара пользователя
Mig29 в сообщении #785115 писал(а):
Вы хотите сказать, что произвольная функция (имеющая действительный аналог) имеет конечное число отличных от нуля (нулевой матрицы) производных?

Нет, это вы хотите сказать, но не решаетесь. И правильно делаете, потому что это вообще говоря не так.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 20:47 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #785108 писал(а):
Вообще-то к конечному. Степени уродуемой в функцию матрицы с $n$-й и выше выражаются через единичную и первые $n-1$.


Да, только полином зависит от матрицы, поэтому его так просто не продифференцируешь.

Можно тогда вообще сказать, что любая функция от матрицы сводится к константе, зависящей от матрицы.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 20:52 
Аватара пользователя
Попробовать можно. Коэффициенты при матричных степенях, вроде бы, скалярные функции инвариантов?

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:00 
ну а что тут спорить.
Берем конкретное утверждение:
Утундрий в сообщении #783450 писал(а):
Mig29 в сообщении #783221 писал(а):
Производные произвольных функций думаю так искать не получиться.

Произвольная функция сводится к полиному.



Дальше все просто:

Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:16 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #785307 писал(а):
Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

Получится три ответа в зависимости от знака $\left( {\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)^2  - Sp\hat A^2 $. И что с того?

P.S. Отвечал, когда ещё было "...размера 2x2". (Вообще-то за такое передёргивание надобно руки выдёргивать. И.м.х.о., конечно.)

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:18 
Утундрий в сообщении #785324 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #785307 писал(а):
Утундрий
выпишите $e^A$ в виде полинома от $A$, который годится для всех матриц $A$ размера 1*1

Получится три ответа в зависимости от знака $\left( {\frac{1}{2}Sp\hat A} \right)^2  - Sp\hat A^2 $. И что с того?

P.S. Отвечал, когда ещё было "...размера 2x2".

ну 1*1 еще проще

выпишите пожалуйста

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:20 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #785326 писал(а):
ну 1*1 еще проще

выпишите пожалуйста

Извольте: $e^{\hat A}  = \hat 1 \cdot e^{Sp\hat A} $

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:22 
Утундрий в сообщении #785328 писал(а):
Извольте: $e^{\hat A}  = \hat 1 \cdot e^{Sp\hat A} $

а разве это полином от матрицы $A$?

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:25 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #785330 писал(а):
разве это полином от матрицы ?

Представьте себе. Полином нулевой степени. Разве плох?

В случае 2x2 будет первой, с коэффициентами - функциями от $Sp\hat A$ и $Sp\hat A^2 $. И так далее и так далее.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:30 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #785293 писал(а):
Попробовать можно. Коэффициенты при матричных степенях, вроде бы, скалярные функции инвариантов?


Можно по-разному описывать получившийся полином, но всё сведётся к тому, что функция определяется своими значениями на собственных числах матрицы (если матрица диагонализуема; если нет, то еще несколькими производными в этих точках). Собственно, полином будет соответствующим интерполяционным полиномом. И в любом случае нужно знать, как ведут себя собственные значения матрицы при малых возмущениях.

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:31 
Утундрий в сообщении #785333 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #785330 писал(а):
разве это полином от матрицы ?

Представьте себе. Полином нулевой степени. Разве плох?

В случае 2x2 будет первой, с коэффициентами - функциями от $Sp\hat A$ и $Sp\hat A^2 $. И так далее и так далее.

Понятно, такой полином у которого аргумент стоит в показателе экспоненты. Ну я так и подумал

 
 
 
 Re: Производная по матричному аргументу
Сообщение05.11.2013, 21:34 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #785339 писал(а):
Понятно, такой полином у которого аргумент стоит в показателе экспоненты. Ну я так и понял

Нет, не такой. Ничего вы не поняли.

-- Вт ноя 05, 2013 22:42:19 --

g______d
Да проще всё. Например, упомянутый экспоненциал (впрочем, как и любую такого рода функцию) матрицы два на два можно записать в виде $\hat 1f_0 \left( {Sp\hat A,Sp\hat A^2 } \right) + \hat Af_1 \left( {Sp\hat A,Sp\hat A^2 } \right)$. Теперь, если определить "производную по матрице" в духе того как Л&Л определяли "производную по вектору", то всё прекрасно дифференцируется.

 
 
 [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group