Числа Бернулли [Алгебра]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Ряд $td(t)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{t}{1-e^{-t}}=\sum\limits_{k\geqslant 0}\dfrac{a_k}{k!}t^k$ называется рядом Тодда. Числа $b_1\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}-a_1$ и $b_k\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}a_k$ при $k\geqslant 2$ и называются числами Бернулли.
При $k\geqslant 2$ я доказал рекурсивную формулу $1+\sum \limits_{v=1}^{k-1}\tbinom{k}{v}b_v=0$.
Как доказать, что числа $b_{2k}$ образуют знакопеременную последовательность?

Может быть это делается через рекурсивную формулу?
Или здесь надо воспользоваться (точнее, вывести) связь дзета-функции Римана с числами Бернулли?