2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 09:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PoorFellow Tom в сообщении #783546 писал(а):
можно сказать , что $-1/(n^{3}{3!})+o(1/n^{3}{3!})$ и $O(1/n^{6}{3!})$ равны?

Нельзя сказать. И не только потому, что это что-то бессвязное, но, главным образом, потому, что $O(1/n^{6}{3!})$ вообще ничему не "равно" (как и $o(1/n^{3}{3!})$). Это не обозначения для конкретные функций, а лишь оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань

(Оффтоп)

по крайней мере, слова "главный член" говорите? Когда пройдено правило Лопиталя, студенты начинают сетовать, зачем мы всякие эквивалентности проходили. Тут я и объясняю про астмптотику, которая понадобится в рядах и несобственных интегралах.

ЗЫ. Набрала на телефоне слово "интеграл", а он предлагает слово Лебега. Продвинутый!

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 10:16 


29/10/13
89
Ход рассуждений: вначале я разложил по Тейлору до первой степени $ 1/n- ( 1/n+o (\sin(1/n))+ o (1/n))^{\alpha}$ , из чего уже можно сделать вывод о том что при $\alpha \leqslant 0$ необходимое условие сходимости не выполняется , а при $\alpha >1$ ряд будет расходиться по признаку сравнения(т.к. сходящийся и расходящийся это расходящийся) Далее, чтобы исследовать поведение при $ \alpha = 1$ разложим дальше : $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{3}{3!})))^{\alpha}$ Главный член здесь $(1/(n^{3}{3!}))^\alpha$ Я правильно понимаю? Так вот, если $ \alpha = 1$ , то ряд сходится, т.к О $ (1/(n^{3}{3!}))$ сходится, то и ряд будет сходиться, далее возникает вопрос , что будет если $0<\alpha<1$ Как исследовать в этом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 10:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PoorFellow Tom в сообщении #783560 писал(а):
разложим дальше : $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{3}{3!})))^{\alpha}$

, и ничего не получим: оценки $+o (\sin(1/n))$ недостаточно, нужна более квалифицированная.

PoorFellow Tom в сообщении #783560 писал(а):
$0<\alpha<1$ Как исследовать в этом случае?

А кто кого в этом случае перебодает: слон кита или кит слона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 10:40 


29/10/13
89
Я понимаю , что конечно второе слагаемое будет больше нежели первое, и значит также по признаку сравнения он будет расходиться? Как тогда получить эту самую оценку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 10:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PoorFellow Tom в сообщении #783568 писал(а):
Как тогда получить эту самую оценку?

Ну вынесите тупо этот логарифм за скобки и выпишите предел оставшегося в скобках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 10:55 


29/10/13
89
Не очень понимаю , как можно вынести оттуда логарифм (логарифм чего вынести?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Чтобы вынести что-нибудь за скобки, надо на него поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 20:04 


29/10/13
89
Да, да, все не настолько плохо, чтобы я этого не понимал, поэтому я и спросил логарифм чего вынести, я же немогу вынести логарифм без некоего аргумента

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение02.11.2013, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
$f(x) =  \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n -\ln^\alpha\left( {1} + \sin\frac1n \right)\right) $
Помещу решение (примерное) в оффтоп

(Оффтоп)

Имеем $g(x) =\ln^\alpha\left( {1} + \sin\frac1n \right)\sim (\frac1n)^\alpha$
1. Если $\alpha <1$, то $\frac1n -g(x)\sim -g(x)\sim -(\frac1n)^\alpha$. По признаку сравнения ряд расходится, так как $\alpha <1$
2. Если $\alpha > 1$, то $\frac1n -g(x)\sim \frac1n$. По признаку сравнения ряд расходится, так как эквивалентен гармоническому.
3. Если $\alpha = 1$, учтем, что
$\ln(1+\sin\frac1n) = \sin\frac1n-\frac12\sin^2\frac1n + o(\sin^2\frac1{n})=$$ \frac1n+o(\frac1{n^2})-\frac12(\frac1n+o(\frac1{n^2}))^2+o(\frac1{n^2}) = \frac1n-\frac1{2n^2}+o(\frac1{n^2})$
Поэтому $\frac1n-g(x) = \frac1{2n^2}+o(\frac1{n^2})\sim\frac1{2n^2}$. Откуда следует сходимость ряда (2 > 1)

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение03.11.2013, 08:25 


29/10/13
89
Извините, но можно спросить, как во втором случае убралось $\alpha$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение03.11.2013, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
PoorFellow Tom в сообщении #783878 писал(а):
Извините, но можно спросить, как во втором случае убралось $\alpha$ ?

Потому что первое слагаемое главнее. Поделите все на него: $\frac{\frac1n-g(n)}{\frac1n}=1-ng(n)$. Вычитаемое эквивалентно $n\cdot\left(\frac1n\right)^\alpha = \frac1{n^{\alpha-1}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение03.11.2013, 16:44 


29/10/13
89
Спасибо , а не подскажете где можно поподробнее почитать про "главные" слагаемые ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Знакоопределенный ряд с параметром
Сообщение03.11.2013, 17:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
PoorFellow Tom
И спустя три страницы, выбив измором готовое решение, наконец, Вы пришли к тому, с чего надо было начинать. Слава всем святым.
Берете любой добротный задачник с большим количеством разобранных примеров.
Например, Кудрявцев (тот том, где "Интегралы. Ряды" и предыдущий). Или Виноградова.
На данный момент Вы не умеете:
1) выписывать эквивалентности и, как следствие, главный член разложения,
2) пользоваться формулами Тейлора;
3) поэтому теорема сравнения в ее наиболее удобном (часто) виде - мертвый инструмент для Вас.

Сперва у вас не должны вызывать затруднений задачи, чему эквивалентны $\frac 1n+\frac1\sqrt n$ и $\frac 1n+\frac1\sqrt {n^3}$, а потом уже остальное.

(Оффтоп)

Что меня нынче удивляет - весь Интернет у ваших ног, а где найти информацию, знают только немногие. :shock: Интересно, почему так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group