Знакоопределенный ряд с параметром

[PoorFellow Tom]

$\begin{equation}\label{eq:fourierrow} f(x) = \frac{1}{n} - \sum \limits_{n=1}^{\infty} \ln^{\alpha} \left( 1 + \sin{(1/n)} \right) \end{equation}$
Исследовать поведение ряда при разных альфа
Подскажите в каком направлении двигаться, через эквивалентность нельзя, пробовал по Тейлору, непонятно что делать с суммой о-малых

[provincialka]

Почему через эквивалентность нельзя?

[Otta]

PoorFellow Tom
$1/n$ впереди - она к чему? $f$ от $n$ не может зависеть. Может, она входит в общий член ряда? Исправьте, как должно быть.

[SpBTimes]

Как раз-таки через Тейлора и надо. Воспользуйтесь тем, что если $a_n = b_n + c_n$ и $c_n$ сходится абсолютно, то $a_n$ и $b_n$ ведут себя одинаково

[PoorFellow Tom]

Otta , да, вы правы , ряд выглядит вот так :
$\begin{equation}\label{eq:fourierrow} f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} 1/n -\ln^\alpha\ \left( {1} + \sin(1/n) \right) \end{equation}$

[provincialka]

А все-таки, чему эквивалентно второе слагаемое (вычитаемое)? И какое из них главнее при разных $\alpha$?

[PoorFellow Tom]

Оно эквивалентно $1/n^{\alpha}$ , при $\alpha>1$ уменьшаемое главнее, при $0<\alpha< = 1$ уменьшаемое главнее , при $\alpha$ < 0 вычитаемое главнее

[Otta]

К $\alpha=1$ отнеситесь внимательней.

[PoorFellow Tom]

Когда $\alpha = 1$ получается ряд из нулей
А почему эквивалентностью все таки можно воспользоваться? Вроде бы разность же

[provincialka]

Не получается ряд из нулей. Именно потому, что в этом конкретном случае эквивалентностью нельзя воспользоваться. И вообще лучше вместо нее записывать асимптотические равенства, т.е. указывать малость остатка. Тут, кстати, и формула Тейлора бы пригодилась.

[PoorFellow Tom]

так по Тейлору как раз и остается $ 1/n- ( 1/n+o (\sin(1/n))+ o (1/n))^{\alpha}$
и что в этом случае можно сказать про сумму о-малых?

[Otta]

PoorFellow Tom
По Тейлору нужно выделить главный член разложения. Если $1/n$ уходит, то раскладывать нужно дальше. До тех пор, пока Вы не сможете написать, чему эквивалентен общий член.

[provincialka]

Какой-то у вас сильно урезанный Тейлор.

[PoorFellow Tom]

Ну вот разложение до 3-его члена $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+1/(n^{5}{5!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{5}{5!})))^{\alpha}$

[provincialka]

Оно нужно только для $\alpha=1$, в остальных случаях достаточно первого слагаемого в скобках.