Знакоопределенный ряд с параметром

[ewert]

PoorFellow Tom в сообщении #783546 писал(а):

можно сказать , что $-1/(n^{3}{3!})+o(1/n^{3}{3!})$ и $O(1/n^{6}{3!})$ равны?

Нельзя сказать. И не только потому, что это что-то бессвязное, но, главным образом, потому, что $O(1/n^{6}{3!})$ вообще ничему не "равно" (как и $o(1/n^{3}{3!})$). Это не обозначения для конкретные функций, а лишь оценки.

[provincialka]

(Оффтоп)

по крайней мере, слова "главный член" говорите? Когда пройдено правило Лопиталя, студенты начинают сетовать, зачем мы всякие эквивалентности проходили. Тут я и объясняю про астмптотику, которая понадобится в рядах и несобственных интегралах.

ЗЫ. Набрала на телефоне слово "интеграл", а он предлагает слово Лебега. Продвинутый!

[PoorFellow Tom]

Ход рассуждений: вначале я разложил по Тейлору до первой степени $ 1/n- ( 1/n+o (\sin(1/n))+ o (1/n))^{\alpha}$ , из чего уже можно сделать вывод о том что при $\alpha \leqslant 0$ необходимое условие сходимости не выполняется , а при $\alpha >1$ ряд будет расходиться по признаку сравнения(т.к. сходящийся и расходящийся это расходящийся) Далее, чтобы исследовать поведение при $ \alpha = 1$ разложим дальше : $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{3}{3!})))^{\alpha}$ Главный член здесь $(1/(n^{3}{3!}))^\alpha$ Я правильно понимаю? Так вот, если $ \alpha = 1$ , то ряд сходится, т.к О $ (1/(n^{3}{3!}))$ сходится, то и ряд будет сходиться, далее возникает вопрос , что будет если $0<\alpha<1$ Как исследовать в этом случае?

[ewert]

PoorFellow Tom в сообщении #783560 писал(а):

разложим дальше : $ 1/n- ( 1/n-1/(n^{3}{3!})+o (\sin(1/n))+ o (1/(n^{3}{3!})))^{\alpha}$

, и ничего не получим: оценки $+o (\sin(1/n))$ недостаточно, нужна более квалифицированная.

PoorFellow Tom в сообщении #783560 писал(а):

$0<\alpha<1$ Как исследовать в этом случае?

А кто кого в этом случае перебодает: слон кита или кит слона?

[PoorFellow Tom]

Я понимаю , что конечно второе слагаемое будет больше нежели первое, и значит также по признаку сравнения он будет расходиться? Как тогда получить эту самую оценку?

[ewert]

PoorFellow Tom в сообщении #783568 писал(а):

Как тогда получить эту самую оценку?

Ну вынесите тупо этот логарифм за скобки и выпишите предел оставшегося в скобках.

[PoorFellow Tom]

Не очень понимаю , как можно вынести оттуда логарифм (логарифм чего вынести?)

[provincialka]

Чтобы вынести что-нибудь за скобки, надо на него поделить.

[PoorFellow Tom]

Да, да, все не настолько плохо, чтобы я этого не понимал, поэтому я и спросил логарифм чего вынести, я же немогу вынести логарифм без некоего аргумента

[provincialka]

$f(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n -\ln^\alpha\left( {1} + \sin\frac1n \right)\right) $
Помещу решение (примерное) в оффтоп

(Оффтоп)

Имеем $g(x) =\ln^\alpha\left( {1} + \sin\frac1n \right)\sim (\frac1n)^\alpha$
1. Если $\alpha <1$, то $\frac1n -g(x)\sim -g(x)\sim -(\frac1n)^\alpha$. По признаку сравнения ряд расходится, так как $\alpha <1$
2. Если $\alpha > 1$, то $\frac1n -g(x)\sim \frac1n$. По признаку сравнения ряд расходится, так как эквивалентен гармоническому.
3. Если $\alpha = 1$, учтем, что
$\ln(1+\sin\frac1n) = \sin\frac1n-\frac12\sin^2\frac1n + o(\sin^2\frac1{n})=$$ \frac1n+o(\frac1{n^2})-\frac12(\frac1n+o(\frac1{n^2}))^2+o(\frac1{n^2}) = \frac1n-\frac1{2n^2}+o(\frac1{n^2})$
Поэтому $\frac1n-g(x) = \frac1{2n^2}+o(\frac1{n^2})\sim\frac1{2n^2}$. Откуда следует сходимость ряда (2 > 1)

[PoorFellow Tom]

Извините, но можно спросить, как во втором случае убралось $\alpha$ ?

[provincialka]

PoorFellow Tom в сообщении #783878 писал(а):

Извините, но можно спросить, как во втором случае убралось $\alpha$ ?

Потому что первое слагаемое главнее. Поделите все на него: $\frac{\frac1n-g(n)}{\frac1n}=1-ng(n)$. Вычитаемое эквивалентно $n\cdot\left(\frac1n\right)^\alpha = \frac1{n^{\alpha-1}}$.

[PoorFellow Tom]

Спасибо , а не подскажете где можно поподробнее почитать про "главные" слагаемые ?

[Otta]

PoorFellow Tom
И спустя три страницы, выбив измором готовое решение, наконец, Вы пришли к тому, с чего надо было начинать. Слава всем святым.
Берете любой добротный задачник с большим количеством разобранных примеров.
Например, Кудрявцев (тот том, где "Интегралы. Ряды" и предыдущий). Или Виноградова.
На данный момент Вы не умеете:
1) выписывать эквивалентности и, как следствие, главный член разложения,
2) пользоваться формулами Тейлора;
3) поэтому теорема сравнения в ее наиболее удобном (часто) виде - мертвый инструмент для Вас.

Сперва у вас не должны вызывать затруднений задачи, чему эквивалентны $\frac 1n+\frac1\sqrt n$ и $\frac 1n+\frac1\sqrt {n^3}$, а потом уже остальное.

(Оффтоп)

Что меня нынче удивляет - весь Интернет у ваших ног, а где найти информацию, знают только немногие. Интересно, почему так?