Производная от коммутатора матриц по умножению

[Nimza]

Путь $A(t)$, $B(t)$, $t \in (1,1)$ --- две гладкие матричные функции со значениями в какой-нибудь подгруппе $G$ группы всех обратимых матриц $GL(n)$, причём $A(0)B(0)=B(0)A(0)$. Я хочу показать, что производная от их коммутатора по умножению

$$ \frac{d}{dt} \biggl( A(t)B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t) \biggr)_{t=0} $$

равна коммутатору $XY-YX$ двух матриц $X$, $Y$ таких, что $X = \frac{dU}{dt}(0)$, $Y = \frac{dV}{dt}(0)$, а $U(t)$, $V(t)$, $t \in (-1,1)$, --- две гладкие матричные функции со значениями в $G$, причём $U(0)=I$, $V(0)=I$.

Вообще, то что в результате должен получиться коммутатор каких-то двух матриц, следует из дифференцирования матрицы с постоянным определителем. Но вот откуда следует, что эти две матрицы имеют такой специальный вид, не ясно. Вычисление производной в лоб тоже не приводит ни к какому хорошему выражению. Как можно здесь действовать? Подскажите, пожалуйста, любой совет или идея очень ценятся.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #783363 писал(а):

ких, что $X = \frac{dU}{dt}(0)$, $Y = \frac{dV}{dt}(0)$, а $U(t)$, $V(t)$, $t \in (-1,1)$, --- две гладкие матричные функции со значениями в $G$, причём $U(0)=I$, $V(0)=I$.

а в чем проблема подобрать $U(t), V(t)$ зная $X,Y$?

[Nimza]

Oleg Zubelevich,
если я не ошибаюсь, теорема, утверждающая, что любая матрица с нулевым следом --- это коммутатор, не позволяет найти, коммутатору каких матриц она равна, так что $X$, $Y$ неизвестны, да ещё и не определены однозначно. Так что проблема --- найти $X$, $Y$.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #783363 писал(а):

тора по умножению

$$ \frac{d}{dt} \biggl( A(t)B(t)A^{-1}(t)B^{-1}(t) \biggr)_{t=0} $$

явную формулу для производной напишите

[Nimza]

С учётом $A(0)B(0) = B(0)A(0)$ явная формула для производной имеет вид

$$ \dot A(0)A^{-1}(0)-B(0) \dot B(0) + A(0)\dot B(0) B^{-1}(0)A^{-1}(0)-B(0)A(0)\dot A(0) B^{-1}(0). $$

[Oleg Zubelevich]

матрицы $\dot A,\dot B$ могут быть совершенно произвольными. и почему след этой суммы должен быть нулем...

[g______d]

Замените функции $A(t)$ и $B(t)$ на линейные, и обратные к ним тоже (так чтобы в первом порядке все совпало). Так всегда можно сделать, и производная от этого не изменится. После этого, как мне кажется, можно будет сразу ответ написать.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #783427 писал(а):

функции $A(t)$ и $B(t)$ на линейные, и обратные к ним то

а что это даст по сравнению с тем что уже написано?

[Nimza]

Ну да, если обозначить $A(t)=a_0 + a_1 t + o(t)$, $B(t) = b_0 + b_1 t + o(t)$, то получится уже имеющаяся формула с учётом $a_0 = A(0)$, $b_ 0 = B(0)$, $a_1 = \dot A(0)$, $b_1 = \dot B(0)$.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #783430 писал(а):

а что это даст по сравнению с тем что уже написано?

Ничего, я просто плохо прочитал.