Вычислить сумму. С какой стороны к этому подступиться?

[Anthony52]

Вычислить сумму:

$$\sum^{n}_{k=0} {\left( \begin{array}{cc} n \\ k \end{array} \right)/\lceil\frac {k+1} 2\rceil}$$

(n - целое неотрицательное)

[venco]

Для начала я бы разбил на две суммы - для чётных и нечётных $k$, чтобы избавиться от округления. А там, наверное, с факториалами что-то сократится.

[Anthony52]

Что означают скобки в знаменателе?

[gris]

$\left \lceil\dfrac 1 2 \right \rceil =1;\;\left \lceil\dfrac 2 2 \right \rceil =1;\;\left \lceil\dfrac 3 2 \right \rceil =2;\;$

Это округление до первого неменьшего целого.
("ceil" from "ceiling", потолок)

[ewert]

Anthony52 в сообщении #783276 писал(а):

Что означают скобки в знаменателе?

Вообще-то это вопрос к Вам. Но поскольку в знаменателе -- это не может быть ни чем иным, кроме округления, причём вверх.

Если бы округления не было, а стояло просто $\frac2{k+1}C_n^k$, то это был бы $\int\limits_0^12(1+x)^ndx$. Она складывается из суммы таких слагаемых только по чётным номерам и суммы только по нечётным. В то же время $\int\limits_0^12(1-x)^ndx$ есть разность этих же сумм. Отсюда каждая из этих двух сумм вытягивается по отдельности.

У Вас по номерам одной чётности стоит именно такая сумма, по номерам другой чётности -- сумма $\frac2{k+2}C_n^k$. Ну так она аналогично вытаскивается из интегралов $\int\limits_0^12x(1\pm x)^ndx$

[gris]

Что означают крючочки в Ваших формулах?

[ewert]

gris в сообщении #783311 писал(а):

Что означают крючочки в Ваших формулах?

Это интегралы. В основном используются для доставания шляп.

[Anthony52]

Получил данное тождество, где в правой части 3 слагаемых (для четного k, нечетного k и k=0), написав через факториалы на черновике ничего сократить не удалось!
$\sum\limits_{k=o}^{n} \frac{\left(\begin{array}{cc} n \\ k \end{array}\right)}{\lceil\frac {k+1}2\rceil}=\frac2{k+2}C_n^k+\frac2{k+1}C_n^k+1&

[gris]

А чему равно $k$ в правой части?
Ведь у Вас задаётся $n$, а $k$ — переменная суммирования. Или там знак суммы должен быть?
Мелочь: В пределах суммирования ноль стал буквой o.

Интегралы не попробовали? Вы напишите небольшой бином и посмотрите, как там всё получается при интегрировании.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #783608 писал(а):

Мелочь: В пределах суммирования ноль стал буквой o.

там просто три значка пропущены: имелось в виду $\sum\limits_{k=o(1)}^n$.

А вообще всё вполне естественно -- пипочки-то совсем рядом. Я тоже так иногда умею набирать.

[gris]

А зачем набирать, если эта формула уже есть в первом сообщении с нулём?
Нет, это что-то мистическое. Я вот тоже так ошибался и именно поэтому и обратил внимание. Ладно в тексте или в языке с обязательным объявлением. А в скрипте каком-нибудь? Хотя там чаще всего нулём и инициализируется.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #783619 писал(а):

А зачем набирать, если эта формула уже есть в первом сообщении с нулём?
Нет, это что-то мистическое.

И опять же -- никакой мистики. Я тоже часто перенабираю фрагменты заново вместо копипастения. Плосто лень отрывать руки от клавы и тянуться к мышке -- лишнее телодвижение, да и моторика разная. В общем, это по настроению.

[gris]

Я вообще-то думал, что Вы и клавиатурой-то не пользуетесь, а прямо из головы на сервер передаёте. Да, но набирать заново вместе со всеми украшениями типа райтов и лефтов это как-то даже чересчур. Кстати, не в оффтоп будет сказано, биномиальный коэффициент нужно не через эррей набирать, а через бином: $\binom n k$.

[Anthony52]

биноминальная формула при b=1
$(1+a)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k a^k$

интегрируем
$\int\limits_{0}^{a} (1+a)^n da = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k \int\limits_{0}^{a} a^k da $

$\frac{{(1+a)}^{n+1}-1} {n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac {a^{k+1}} {k+1} C_n^k$

при a=1 найдем, что
$\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {C_n^k} {k+1} = \frac {2^{n+1}-1}{n+1}$

тогда
$2\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {C_n^k} {k+1} =\sum\limits_{k=0}^{n} \frac {C_n^k} {\frac {k+1}2} = \frac {2^{n+2}-2}{n+1}$

[ewert]

Anthony52 в сообщении #783729 писал(а):

интегрируем
$\int\limits_{0}^{a} (1+a)^n da =$

не интегрируем -- таких интегралов попросту не бывает