Правильно ли я решаю пределы

[Ubermensch]

Вроде разобрался с теорией. Начал решать задачи. Правильно ли я решаю их?

1. Доказать по определению предела:

-$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n-1}{4n+9}=1/2$

$|\frac{2n-1}{4n+9}-\frac{1}{2}|< \varepsilon$
$\frac{11}{8n+18}<\varepsilon$
$N_{\varepsilon}=\big[\frac{11-18\varepsilon}{8\varepsilon}\big]+1$


$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n^2+3}=0$

$\frac{n-1}{2n^2+3}<\frac{n}{2n^2}<\varepsilon$
$n>\frac{1}{2\varepsilon}$
$N_\varepsilon=\big[\frac{1}{2\varepsilon}\big]+1$


$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{7^n+2^n}{3\cdot2^n}=\infty$

$\frac{7^n+2^n}{3\cdot2^n}>\varepsilon$
выносим $2^n$

$\frac{\frac{7^n}{2^n}+1}{3}>\varepsilon$
$n>\log_\frac{7}{2}(3\cdot\varepsilon-1)$


Доказать, что последовательность расходится
$x_n=(-1)^n\cdot10-2$
Рассмотрим две подпоследовательности:$2k$ и $2k-1$. Пределы этих подпоследовательностей $8$ и $-12$ соответственно. Они не совпадают, значит последовательность расходится. Но я не понял, почему, когда мы ищем нижний и верхний пределы, то мы тоже рассматриваем подпоследовательности, которые имеют разные пределы. Почему в этом случае она расходящеяся, а в тех случаях последовательности сходящиеся?

C помощью критерия Коши доказать, что последовательность сходится: $x_n=\frac{2n+1}{n}$
$|x_m-x_n|<\varepsilon$
$m=n+p$
$|\frac{2(n+p)+1}{n+p}-\frac{2n+1}{n}|<\varepsilon$
$|\frac{p}{n^2+np}|<\frac{p}{np}<\varepsilon$
$N_\varepsilon=\frac{1}{\varepsilon}$


Найти предел последовательности: $\lim\limits_{n\to\infty}(n^{1/2}-(n-1)^{1/2})\cdot\sin\ln(n+n^{1/2}+2)$ Правую часть, начиная с $\sin$ можно заменить 1?, тогда предел равен $0$?

[devgen]

Искать верхний и нижний пределы просто удобный способ выбрать подпоследовательности. Предельных точек может быть, например, четыре, тогда можно взять и другие подпоследовательности.

Нет нельзя, откуда там 1? Но можно, например, "зажать" сверху и снизу.

[mihailm]

Неплохо

Ubermensch в сообщении #782754 писал(а):

...Но я не понял, почему, когда мы ищем нижний и верхний пределы, то мы тоже рассматриваем подпоследовательности, которые имеют разные пределы. Почему в этом случае она расходящеяся, а в тех случаях последовательности сходящиеся?...

Тут туман

Ubermensch в сообщении #782754 писал(а):

...Найти предел последовательности: $\lim\limits_{n\to\infty}(n^{1/2}-(n-1)^{1/2})\cdot\sin\ln(n+n^{1/2}+2)$ Правую часть, начиная с $\sin$ можно заменить 1?, тогда предел равен $0$?

Тут домножить на сопряженное и воспользоваться, тем что ограниченная на бесконечно малую мала (тоже бесконечно)

[Ubermensch]

mihailm
на споряженный я домножил и решил. 0 получилось. Но это я правую часть принял за единицу. Такое действие обоснованно? И почему? Часто в примерах тригонометрические функции заменяют единицей. Почему?

Остальное правильно?

[mihailm]

Менять то можно иногда, но это довольно бесполезное и даже вредное действие.
Есть понятие "ограниченная величина" - ее понимание и отшлифуйте.

-- Чт окт 31, 2013 21:27:44 --

И все-таки о чем этот текст ниже? можно подробнее?

Ubermensch в сообщении #782754 писал(а):

...Но я не понял, почему, когда мы ищем нижний и верхний пределы, то мы тоже рассматриваем подпоследовательности, которые имеют разные пределы. Почему в этом случае она расходящеяся, а в тех случаях последовательности сходящиеся?...

[Ubermensch]

Вот например последовательность: $x_n=e\cdot(-1)^n+\sin\frac{n\pi}{4}$
Когда мы искали верхний и нижний предел, мы рассматривали несколько подпоследностей. А именно $8k-7$, $8k-6$, . . .,$8k-1$. Ну это связано с периодом синуса, как я понял.

Но вот в задаче в первом сообщении мы тоже рассматривали подпоследовательности $2k$, и $2k-1$ и, получив разные значения, объявили, что последовательность расходится.
Почему в последовательно в этом сообщении мы тоже рассматриваем различные подпоследовательности, которые имеют тоже разные значения, но не объявляем, что последовательность расходится, а наоборот выбираем из этих разных значений подпоследовательностей верхний и нижний пределы.

[Otta]

Ubermensch в сообщении #782958 писал(а):

Почему в последовательно в этом сообщении мы тоже рассматриваем различные подпоследовательности, которые имеют тоже разные значения, но не объявляем, что последовательность расходится, а наоборот выбираем из этих разных значений подпоследовательностей верхний и нижний пределы.

Может быть, потому, что нас спросили не о том, сходится ли последовательность, а о том, какие у нее верхний и нижний пределы.

[mihailm]

У сходящейся посл-ти (к a) все подпоследовательности имеют тот же предел (a), т.е. ничего нового мы не получим. Но выкидывать совсем из рассмотрения математики расходящиеся последовательности не хочется, так как они в математических исследованиях встречаются сплошь и рядом. Поэтому нужны какие-то другие характеристики этих последовательностей, тут два пути мат мысли 1) по другому считать предел (например как ср арифметическое первых членов) и 2) брать не все номера n.
Применяется это как уже сказано к расходящимся последовательностям, так что если у последовательности имеется два разных частичных предела (например верхний и нижний предел), то обычного предела нет.
Вобщем понимаем, что такое частичный предел) и жизнь наладится, на случай 1) пока можно забить