Объем и координаты центра тяжести кососрезанного цилиндра

[Nikolay85]

Здравствуйте.
Нужно точно вычислить объем кососрезанного цилиндра и координаты его ЦТ - не хотелось бы заменять его пирамидой, т.к. объект большой, погрешность м.б. слишком здоровой.
Пробовал посчитать интегрированием площадей горизонтальных и вертикальных сечений - получаются слишком ядреные интегралы. Есть способ по-проще и в то же время точно?

[Nemiroff]

Ну если бы плоскость сечения касалась в одной точке верхнего и нижнего "ребра", то объём, видимо, был бы половиной от объёма цилиндра. Ну а к этому ещё приплюсовать цилиндр, который не тронули.

[provincialka]

А срез плоский? Чего уж интегралы такие ядрёные? Неужели в цилиндрических координатах не берутся?

[Nemiroff]

В цилиндрических, может, и не берутся.
Просто так берутся.
Если, опять же, смотрим на цилиндр, который в боковой проекции треугольник, а не трапеция, а для этого треугольника (основание $2R$, высота $L$) по оси $Ox$ диаметр, по $Oy$ — высота, $(0,0)$ — координата вершины прямого угла, то координаты центра масс будут $\left(\dfrac34R, \dfrac{5}{16}L\right)$.

[torn]

Nikolay85 в сообщении #781367 писал(а):

...интегрированием площадей горизонтальных и вертикальных сечений...

Цилиндр имеет пустоты?

[Nikolay85]

Пустот нет. Как здесь картинку вставить? Или вот тег math - как с его помощью записать формулу?

[Deggial]

Nikolay85 в сообщении #781844 писал(а):

Пустот нет. Как здесь картинку вставить? Или вот тег math - как с его помощью записать формулу?

Картинку вставлять через как ссылку, обёрнутую в тег img.
В $\TeX$е можно рисовать так..
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[Nikolay85]

Deggial, спасибо.
При вычислении через интегрирование площадей поперечных сечений нужно вычислить интегралы вот такого типа:
$\int x\sqrt{(x+t_0)(2r-t_0-x)}dx$ и $\int x^2\sqrt{(x+t_0)(2r-t_0-x)}dx$
Если бы дело было только в нахождении объема, задачу можно было бы решить и без них. Но нужно найти и координаты центра тяжести, а тут я уже не вижу альтернативы интегралам. В цилиндрических координатах не пробовал.
Большое спасибо, что откликнулись.

[Nemiroff]

Nikolay85 в сообщении #781865 писал(а):

Но нужно найти и координаты центра тяжести, а тут я уже не вижу альтернативы интегралам. В цилиндрических координатах не пробовал.
Большое спасибо, что откликнулись.

Я же написал уже.
Вам выкладки предоставить?

[Nikolay85]

Nemiroff
Да, было бы здорово. Хочу понять как в принципе это дело считается.
Большое вам спасибо

[Nemiroff]

Без рисунка тяжко, а рисовать лениво.
Рассмотрим только часть со срезом (которая в одной из боковых проекций треугольник). Радиус основания $R$, высота (наибольшая, конечно) $L$. Если такой цилиндр рассекать плоскостями, параллельными образующим и малой оси эллипса на срезе, мы в сечениях будем получать прямоугольники. Вот по ним и будем интегрировать.
Пусть координата $x$ отсчитывается вдоль катета треугольника (или вдоль диаметра круглого основания, это одно и то же), причем нуль находится в центре основания. Соответственно, $x$ меняется от $-R$ до $R$.
Рассмотрим прямоугольник, который получается при сечении плоскостью $x=\operatorname{const}$. Его ширина по теореме Пифагора — $2\sqrt{R^2-x^2}$, его высота (из подобия треугольников) $\dfrac{L}{2R}(R-x)$.
Осталось посчитать. Центр масс каждого прямоугольника находится в его геометрическом центре, так что берем половины от координат. Началом координат будет центр основания, $x$, как уже сказано, вдоль диаметра, $y$ вверх. Берем интеграл: координата центра масс на площадь прямоугольника (масса), всё вместе делим на общий объём. Общий объём равен $\dfrac{\pi R^2L}{2}$.
По высоте:

$$\int\limits_{-R}^R \left(\dfrac{L}{2R}(R-x)\right)\left(2\sqrt{R^2-x^2}\right)\left(\dfrac12\cdot\dfrac{L}{2R}(R-x)\right)\,dx=\dfrac{L^2}{4R^2}\int\limits_{-R}^R (R-x)^2\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\dfrac{L^2}{4R^2}\cdot\dfrac58\pi R^4=\dfrac{5}{32}\pi L^2 R^2$$

Получаем $\dfrac{5}{16}L$ от основания.
Вдоль $x$:

$$\int\limits_{-R}^R \left(\dfrac{L}{2R}(R-x)\right)\left(2\sqrt{R^2-x^2}\right)x\,dx=-\dfrac{1}{8}\pi R^3L$$

Получаем $-\dfrac{1}{4}R$ от оси, либо $\dfrac{3}{4}R$ от левого (самого высокого) края.

Для цилиндра, который в боковой проекции трапеция придется взять взвешенную сумму от центра масс косого и прямого кусков.

Конкретно как брать интегралы — тригонометрическая подстановка поможет.

[Nikolay85]

О, спасибо огромное.
Может, еще и книгу посоветуете по интегральному исчислению?

[ewert]

Чтобы что-то сосчитать, надо это что-то сначала разумно задать. Эта область естественным образом задаётся так: $x^2+y^2\leqslant R^2,\quad 0\leqslant z\leqslant H+\alpha x$ (потом, если приспичит, параметры $H$ (средняя высота) и $\alpha$ (тангенс угла наклона) мгновенно пересчитываются в какую угодно пару параметров). Тогда объём можно и не считать -- очевидно, он равен $\pi R^2H$. Положение же центра масс очень быстро находится в цилиндрических координатах:

$x_0=\frac1{\pi R^2H}\iiint x\,dx\,dy\,dz=\frac1{\pi R^2H}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rr\,dr\int\limits_0^{H+\alpha r\cos\varphi}r\cos\varphi\, dz=$
$=\frac1{\pi R^2H}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rr\,dr\cdot\alpha r^2\cos^2\varphi=\frac1{\pi R^2H}\cdot\frac{\alpha R^4}4\cdot\frac12\cdot2\pi=\frac{\alpha R^2}{4H}$

(слагаемое с первой степенью косинуса при интегрировании даст ноль, а что среднее значение квадрата косинуса на периоде равно одной второй -- все и так знают). По игреку ничего считать не надо -- будет $y_0=0$ в силу симметрии. Ну и по $z$ не намного сложнее:


$z_0=\frac1{\pi R^2H}\iiint x\,dx\,dy\,dz=\frac1{\pi R^2H}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rr\,dr\int\limits_0^{H+\alpha r\cos\varphi}z\, dz=$
$=\frac1{\pi R^2H}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^Rr\,dr\cdot\frac12(H^2+\alpha^2r^2\cos^2\varphi)=\frac1{\pi R^2H}\cdot(\frac{H^2R^2}4+\frac{\alpha^2R^4}8\cdot\frac12)\cdot2\pi=$
$=\frac{H}2+\frac{\alpha^2R^2}{8H}$

(интеграл от чистого косинуса снова гордо игнорируем).

[Nikolay85]

Nemiroff
ewert
Спасибо за помощь, посоветуйте хорошую книжку, где про это можно почитать

-- 30.10.2013, 23:53 --

ewert
Н - средняя высота, это что такое?

[ewert]

Nikolay85 в сообщении #782238 писал(а):

Н - средняя высота, это что такое?

Высота по оси цилиндра.