Определитель

[provincialka]

angor6
А теперь вынимаю "свое" решение из оффтопа. Возведем матрицу $A-B$ в куб. Используя свойства $A$ и $B$, получим, что $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2 -B^3=A-B$. Значит, определители этих матриц равны. Обозначим $\det(A-B)=x$, получаем, что $x^3=x$. Это уравнение имеет три корня, $-1,0,1$. Осталось привести примеры того, что все три значения возможны.

[angor6]

provincialka

provincialka в сообщении #781864 писал(а):

angor6
А теперь вынимаю "свое" решение из оффтопа. Возведем матрицу $A-B$ в куб. Используя свойства $A$ и $B$, получим, что $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2 -B^3=A-B$. Значит, определители этих матриц равны. Обозначим $\det(A-B)=x$, получаем, что $x^3=x$. Это уравнение имеет три корня, $-1,0,1$. Осталось привести примеры того, что все три значения возможны.

Изъян, по-моему, в том, что три корня появляются и без возведения в куб.

В свою очередь, я постараюсь выделить время оформлению решения, которое больше по душе мне, и выложить его на форуме. Заодно приготовлюсь к критике возможных ошибок и неточностей.

Спасибо за помощь!

[yk2ru]

Из чего следует, что должно быть три корня?

[Nemiroff]

angor6 в сообщении #781876 писал(а):

В свою очередь, я постараюсь выделить время оформлению решения, которое больше по душе мне, и выложить его на форуме.

Давайте-давайте. Своё решение всегда полезнее.

provincialka в сообщении #781864 писал(а):

Возведем матрицу $A-B$ в куб.

Идеально. Но трудно догадаться, не зная ответа заранее.

[angor6]

Nemiroff
Можно высказать гипотезу о существовании корней, рассматривая матрицы первого порядка. А потом использовать возведение в куб. Правда, логика сомнительная...

[arseniiv]

Nemiroff в сообщении #781887 писал(а):

Идеально. Но трудно догадаться, не зная ответа заранее.

В квадрат-то на первой странице возводили. В принципе, можно было «случайно» умножить тот квадрат на $(A-B)$ ещё раз…

[provincialka]

Ну, до ответа ведь все догадались в самом начале. Честно говоря, мне иногда жаль, что задачи к нам в жюри приносят вместе с решениями, чтобы быстрее оценить сложность. Хорошо бы самой порешать и оценить, но ... Но первое решение (с рассмотрением двух случаев) тоже весьма хорошее. Куб - это уж так, изыски олимпиадности.

[angor6]

Предлагаю такое решение.

Покажем, что если $A,~B$ - квадратные матрицы и $A^2=A$, $B^2=B, AB=BA,$ то определитель $|A-B|$ принимает только следующие значения: $-1,~0,~1.$

Имеем $(A-B)(A+B)=A^2-BA+AB-B^2=A^2-B^2=A-B,$ то есть

$(A-B)(A+B)=A-B.~~~~~(1)$

Возможны следующие случаи:
1) $A-B=0.$ Тогда $|A-B|=0.$ Если при этом и $A+B=0,$ то $A=B=0.$
2) $A-B\ne0,~A+B\ne 0.$ Тогда из (1) получим

$(A-B)^{-1}(A-B)(A+B)=(A-B)^{-1}(A-B),$

$E(A+B)=E,$

$A+B=E,~A-B=E-2B,$

$(A-B)^2=(E-2B)^2=E^2-4EB+4B^2=E^2-4B+4B=E^2,$

$A-B=\pm E,$

$|A-B|=\pm 1.$

Случай, когда $A-B\ne 0,~A+B=0,$ невозможен, потому что тогда $(A-B)(A+B)=(A-B)0=0.$ Согласно (1), $A-B=0.$ Получили противоречие с допущением, что $A-B\ne 0.$

Других случаев нет. Объединяя полученные значения определителя $|A-B|,$ заключаем, что задача решена.

[DjD USB]

Мдаа... Я даже не думал что данная тема так " раскрутится".
P.s Извините я был занят в эти дни, мне просто не до задач было...

[nnosipov]

angor6 в сообщении #782132 писал(а):

2) $A-B\ne0,~A+B\ne 0.$ Тогда из (1) получим ...

Далее Вы что-то пишите и среди прочего там есть такая штука как $(A-B)^{-1}$. А существует ли эта штука?

Спрошу совсем прямо: если $X \neq 0$, то существует ли $X^{-1}$? В этом вопросе следует основательно разобраться. И потом выделить правильные случаи (я намекаю на то, что в пункте 2) то обстоятельство, что $A-B \neq 0$, не важно, а важно что-то другое; и вот про это другое и нужно честно сказать).

-- Ср окт 30, 2013 17:45:44 --

DjD USB, присоединяйтесь, задача-то вполне содержательная. Откуда Вы её взяли, кстати?

[angor6]

nnosipov
Согласен, матрица $A-B$ должна быть обратимой. Значит, рассмотренное мной в п. 2 относится только к случаю $|A-B|\ne 0...$

Значит, нужно думать ещё...

Хотя в конце пункта 2 и получаем, что $|A-B|=\pm1\ne 0.$

[nnosipov]

angor6 в сообщении #782155 писал(а):

Согласен, матрица $A-B$ должна быть обратимой.

Ну так и объявите случай 2) как тот, где матрица $A-B$ обратима --- делов-то.

angor6 в сообщении #782155 писал(а):

Значит, нужно думать ещё...

Не надо ещё думать, нужна только косметическая правка Вашего текста.

[angor6]

nnosipov
И рассмотреть дополнительно как разновидность случая 2 вариант с необратимой матрицей $A-B$? Если мы предположим, что $|A-B|=0,$ то это будет одновременно и ответом.

Можно дописать:
2) $A-B\ne 0,~|A-B|=0...$ Далее по тексту.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #782157 писал(а):

нужна только косметическая правка Вашего текста.

ну, если под косметической понимать "стереть всё нафик"...

[angor6]

DjD USB

DjD USB в сообщении #782145 писал(а):

Мдаа... Я даже не думал что данная тема так " раскрутится".
P.s Извините я был занят в эти дни, мне просто не до задач было...

Каждому своё. Записанная Вами задача меня заинтересовала и я решил "заменить" Вас.

-- 30.10.2013, 13:12 --

ewert

ewert в сообщении #782161 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #782157 писал(а):

нужна только косметическая правка Вашего текста.

ну, если под косметической понимать "стереть всё нафик"...

Думаю, достаточно добавить указание на то, что $|A-B|\ne 0.$ Иначе $|A-B|=0$ является и ответом.