Определитель

[angor6]

nnosipov
А я уже не знаю, в каком контексте "чуть-чуть осталось". Мы рассмотрели:
1) $|A-B|=0$;
2) $|A|=0,~|A-B|\ne 0$; получили $|A-B|=\pm 1$?

Я отошёл от предполагаемой структуры своего ответа, который оказался неправильным, а новая структура у меня пока отсутствует...

[provincialka]

Тут главное не поддаваться соблазну описать сами матрицы $A$ и $B$ (хотя это может быть интересно само по себе). Надо работать только с их разностью. Напишите ПОБОЛЬШЕ всяких следствий из условий. Что еще можно сказать про матрицу $A-B$?

[nnosipov]

provincialka в сообщении #781788 писал(а):

Надо работать только с их разностью.

Да, именно так. Мы знаем, чему равна сумма $A+B$. Чему равна разность $A-B$, мы не знаем. Но нам знать её и не нужно, нужен $x=\det{(A-B)}$. А не попробовать бы нам рассмотреть $(A-B)^2$, ведь $\det{(A-B)^2}=(\det{(A-B)})^2=x^2$.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #781794 писал(а):

provincialka в сообщении #781788 писал(а):

Надо работать только с их разностью.

Да, именно так. Мы знаем, чему равна сумма $A+B$. Чему равна разность $A-B$, мы не знаем. Но нам знать её и не нужно, нужен $x=\det{(A-B)}$. А не попробовать бы нам рассмотреть $(A-B)^2$, ведь $\det{(A-B)^2}=(\det{(A-B)})^2=x^2$.

Не останавливайтесь на достигнутом! (помните, что решений - 3)

[angor6]

provincialka
Если $|A+B|\ne 0$, то $A-B=E$, $|A-B|=1$.

-- 29.10.2013, 15:09 --

provincialka
Так три решения уже есть. Они получены мной выше. Правда, это не освобождает нас от обязанности идти дальше.

Пока мы используем явно первые два равенства из условия задачи. Третье используем неяно (его следствием является то, что действуют тождества сокращённого умножения, известные для чисел).

[provincialka]

angor6 в сообщении #781799 писал(а):

Если $|A+B|\ne 0$, то $A-B=E$, $|A-B|=1$.

Почему?
Не надо исследовать другие матрицы. Если спрашивается про определитель $A-B$, то желательно (по возможности) не вводить еще матрицы $A+B$. Хотя, возможно, на этом пути что-то получится. Но не нужно.
Вот, nnosipov предложил возвести искомый определитель в квадрат. Получить, видимо, для него уравнение. НО. Квадратное уравнение имеет 2 корня. А у нас - три!

[angor6]

provincialka
У нас ведь ТРИ корня уже есть!

Я как-то остерегаюсь манипулировать с $(A-B)^3$... Или с $A^3-B^3$. Хотя... Вы меня заинтриговали. Сделаю, однако, перерыв...

[provincialka]

Не бойтесь!

[nnosipov]

provincialka в сообщении #781802 писал(а):

Хотя, возможно, на этом пути что-то получится.

Дык, уже получилось! Из условия $\det{(A-B)} \neq 0$ было аккуратно выведено, что $A+B=E$. Этим же надо воспользоваться! Подсказка: $A-B=(A+B)-2B=E-2B$. (Ну, это же естественно: если две неизвестные матрицы связаны соотношением $A+B=E$, то от одной из них можно избавиться.)

[angor6]

provincialka
Получается $(A-B)^3=A-B$, $A-B=\pm E$ или $A-B=0$. Ничего нового с точки зрения количества решений.

-- 29.10.2013, 15:32 --

nnosipov

nnosipov в сообщении #781812 писал(а):

provincialka в сообщении #781802 писал(а):

Хотя, возможно, на этом пути что-то получится.

Дык, уже получилось! Из условия $\det{(A-B)} \neq 0$ было аккуратно выведено, что $A+B=E$. Этим же надо воспользоваться! Подсказка: $A-B=(A+B)-2B=E-2B$. (Ну, это же естественно: если две неизвестные матрицы связаны соотношением $A+B=E$, то от одной из них можно избавиться.)

Я при первом прочтении Вашего давнишнего сообщения не понял, откуда Вы взяли такое равенство. Оказывается, вот откуда...

provincialka
Так какие всё-таки три корня, если не -1, 0, 1?

[nnosipov]

angor6 в сообщении #781816 писал(а):

Я при первом прочтении Вашего давнишнего сообщения не понял, откуда Вы взяли такое равенство.

Нет, это не я, это ewert равенство $A-B=E-2B$ впервые написал. А дальше у него было $(A-B)^2=(E-2B)^2=\ldots$ Осталось раскрыть скобки в последнем выражении.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #781812 писал(а):

provincialka в сообщении #781802 писал(а):

Хотя, возможно, на этом пути что-то получится.

Дык, уже получилось! Из условия $\det{(A-B)} \neq 0$ было аккуратно выведено, что $A+B=E$. Этим же надо воспользоваться! Подсказка: $A-B=(A+B)-2B=E-2B$. (Ну, это же естественно: если две неизвестные матрицы связаны соотношением $A+B=E$, то от одной из них можно избавиться.)

Это-то верно, но angor6 не так писал

angor6 в сообщении #781799 писал(а):

provincialka
Если $|A+B|\ne 0$, то $A-B=E$, $|A-B|=1$.

angor6, перейдите от матриц к их определителям.

-- 29.10.2013, 16:43 --

angor6 в сообщении #781816 писал(а):

provincialka
Так какие всё-таки три корня, если не -1, 0, 1?

. Да эти корни, эти. Могут все эти три числа быть корнями одного и того же уравнения?

[angor6]

nnosipov
$(A-B)^2=(E-2B)^2=E^2-4EB+4B^2=E-4B+4B=E$. Новым не назовёшь...

-- 29.10.2013, 15:54 --

provincialka
Где я должен перейти от матриц к их определителям? Я это уже сделал выше, когда рассматривал невырожденную матрицу $A-B$.

Могут ли три числа быть корнями одного и того же уравнения? А почему бы и нет? Что в этом удивительного?

[nnosipov]

angor6 в сообщении #781834 писал(а):

nnosipov
$(A-B)^2=(E-2B)^2=E^2-4EB+4B^2=E-4B+4B=E$. Новым не назовёшь...

Так это же победа: $(A-B)^2=E$, следовательно $\det{(A-B)^2}=\det{E}=1$, откуда $\det{(A-B)}=\pm 1$.

Просто в Ваших ранешних рассуждениях было много лишнего и к тому же ошибочного. К этому и придирались Ваши оппоненты.

[angor6]

provincialka nnosipov
Спасибо! Такой приём решения задачи встретился мне вообще впервые.