формулы решения диофантовых уравнений

[individa]

На других форумах я эти формулы выкидывал в виде рисунков, но решил, что тут тоже можно нарисовать.
Тем более когда одни мои знакомые там категорически отказываются давать комментарии.
Ладно начнём с простых.
Диофантово уравнение $X^2+aXY+bY^2=Z^2$
всегда имеет решения и некоторые формулы можно записать следующим образом;

$X=s^2-bp^2$

$Y=ap^2-2ps$

$Z=bp^2-aps+s^2$

Где числа p,s являются целыми и любого знака.
Как настроение будет буду рисовать остальные!

-- 27.10.2013, 16:07 --

Формулы решения следующего уравнения $X^2+Y^2+Z^2=D^2$ нарисовал в теме topic16194.html

Здесь нарисую решения другого уравнения: $X^2+Y^2=Z^2+D^2$
Все решения задаются целыми числами: a,b,p,s.
Формулы выглядят так:

$X=a(p^2+s^2)$

$Y=b(p^2+s^2)$

$Z=a(p^2-s^2)+2psb$

$D=2psa+b(s^2-p^2)$

Другие формулы выглядят так:

$X=b^2(p^2-s^2)+a^2s^2$

$Y=b^2(p-s)^2+as^2(a-2b)$

$Z=b^2(p-s)^2+as(2bp-as)$

$D=s^2(a-b)^2+pb(2as-pb)$

[Sonic86]

individa в сообщении #780840 писал(а):

Здесь нарисую решения другого уравнения: $X^2+Y^2=Z^2+D^2$
Все решения задаются целыми числами: a,b,p,s.
Формулы выглядят так:

$X=a(p^2+s^2)$

$Y=b(p^2+s^2)$

$Z=a(p^2-s^2)+2psb$

$D=2psa+b(s^2-p^2)$

Неверно:
$221=14^2+5^2=11^2+10^2$. Покажем, что четверку $(X,Y,Z,D)=(14,5,11,10)$ и ни одну ее допустимую перестановку нельзя получить с помощью приведенных формул.
По формулам $\gcd(X,Y)=(p^2+s^2)\gcd(a,b)$. Поскольку числа пар $(14,5)$ и $(11,10)$ взаимно просты, то $\gcd(X,Y)=1,$ откуда $p^2+s^2=1$, значит $ps=0$ и $p^2-s^2=\pm 1$, т.е. $Z=\pm X, Y=\pm D$, чего не наблюдаем в $(14,5,11,10)$ .

[individa]

Что за манера делать такие заявления? Формула тогда не верна, когда после подстановки в уравнение она не превращает его в тоджество! А так кто то другой правда подумает, что формулы не верны.
Я же сказал, что мне набирать тяжело в такой манере. Поэтому формулы рисовать буду постепенно, если будет настроение!
Хочу сказать, чтоб не возвращаться к этому каждый раз, как правило в диофантовых уравнениях их решения записываются несколькими формулами. Объяснение этому в специфике решения таких уравнений. И ещё все формулы которые я буду писать выведены одним методом. Довольно интересно то, что решая одно уравнение одним методом получаем такое множество решений.
А теперь вернусь к нашему уравнению $X^2+Y^2=Z^2+D^2$
Ниже напечатаны ещё формулы описывающие его решения!

$$X=b^2p^2-2(a-2b)bps+(2a^2-4ab+3b^2)s^2$$

$$Y=2b^2p^2-4(a-b)bps+(4a^2-6ab+2b^2)s^2$$

$$Z=2b^2p^2-2(a-2b)bps+2(b^2-a^2)s^2$$

$$D=b^2p^2-2(3a-2b)bps+(4a^2-8ab+3b^2)s^2$$

*******************************************************************************************************************************

$$X=b^2p^2+2(a-2b)bps+(10a^2-4ab-5b^2)s^2$$

$$Y=2b^2p^2+4(a+b)bps+(20a^2-14ab+2b^2)s^2$$

$$Z=-2b^2p^2+2(a-2b)bps+(22a^2-16ab-2b^2)s^2$$

$$D=b^2p^2+2(7a-2b)bps+(4a^2+8ab-5b^2)s^2$$

**************************************************************************************************************************************

$$X=2(a+b)p^2+2(a+b)ps+(5a-4b)s^2$$

$$Y=2((2a-b)p^2+2(a+b)ps+(5a-b)s^2)$$

$$Z=2((a+b)p^2+(7a-2b)ps+(a+b)s^2)$$

$$D=2(b-2a)p^2+2(a+b)ps+(11a-4b)s^2$$

***************************************************************************************************************************************

$$X=2(b-a)p^2+2(a-b)ps-as^2$$

$$Y=2((b-2a)p^2+2(a-b)ps+(b-a)s^2)$$

$$Z=2((b-a)p^2+(3a-2b)ps+(b-a)s^2)$$

$$D=2(b-2a)p^2+2(a-b)ps+as^2$$

Числа a,b,p,s должны быть целыми и любого знака. Ваше понравившееся решение (14,5,11,10) описывается одной из этих формул.
И ещё. Может возникнуть необходимость для получения примитивных, после подстановки чисел сократить на наибольший общий делитель.
Не забудьте это сделать.

[Sonic86]

individa в сообщении #781305 писал(а):

Что за манера делать такие заявления?

Вот Вы пишите:

individa в сообщении #780840 писал(а):

Здесь нарисую решения другого уравнения: $X^2+Y^2=Z^2+D^2$
Все решения задаются целыми числами: a,b,p,s.

Вы что хотели сказать: что приведенные формулы дают все решения уравнения $X^2+Y^2=Z^2+D^2$ или просто то, что $a,b,p,s$ в указанных ниже формулах - это их параметры? Если хотели сказать первое, так это ложь, а если второе - зачем вообще было это писать

[individa]

Затем, что некоторые это не понимают и Вы в том числе раз такой вопрос задаёте! Пожалуйста не ведите не корректный спор, беря одну фразу с одного места, а другую совсем с другого!
Мне не раз приходилось объяснять, что числа которые задают решения этих уравнений, должны быть целые и любых знаков!

[Sonic86]

Вы формально на вопрос в состоянии ответить?

[individa]

Даже маленькие Канадские ёжики понимают, что решения Диофантовых уравнений задаются, набором целочисленных переменных, причём любого знака. Но некоторые умники это называют задание решения в параметрическом виде. Наверное чтоб красивее звучало. Что же касаемо решений, то приведённые мною формулы, описывают наборы всех решений этого уравнения.
Со временем я покажу решение многих других уравнений, кому интересно они на других форумах нарисованы. Время будет сюда перерисую!

[nnosipov]

individa в сообщении #781428 писал(а):

Что же касаемо решений, то приведённые мною формулы, описывают наборы всех решений этого уравнения.

Приведите доказательство этого утверждения. Бездоказательные утверждения на этом форуме никому не интересны.

Вы действительно утверждаете, что по тем формулам , что Вы привели выше, можно найти ВСЕ решения уравнения $X^2+Y^2=Z^2+D^2$? Тогда приводите доказательство.

[Deggial]

правила форума писал(а):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ...
3.2. ... В случае невыполнения этих обязательств, игнорирования вопросов, а также если ответы и аргументы автора признаются участниками форума неубедительными или бессодержательными, тема может быть закрыта.

individa, у Вас отсутствует явный предмет для обсуждения, а в случае отсутствия обсуждения тема превращается в блог, что запрещено правилами.
Приведите предмет обсуждения. Если у Вас есть доказательства того, что некие формулы описывают все решения некоторого диофантова уравнения - так и пишите доказательство этого факта.
В случае отсутствия предмета обсуждения тема будет закрыта.

[Sonic86]

individa в сообщении #781428 писал(а):

Что же касаемо решений, то приведённые мною формулы, описывают наборы всех решений этого уравнения.

Приведенные - это какие по-Вашему? Только точно. Эти:

individa в сообщении #780840 писал(а):

$X=a(p^2+s^2)$

$Y=b(p^2+s^2)$

$Z=a(p^2-s^2)+2psb$

$D=2psa+b(s^2-p^2)$

Или вместе:

individa в сообщении #780840 писал(а):

Формулы выглядят так:

$X=a(p^2+s^2)$

$Y=b(p^2+s^2)$

$Z=a(p^2-s^2)+2psb$

$D=2psa+b(s^2-p^2)$

Другие формулы выглядят так:

$X=b^2(p^2-s^2)+a^2s^2$

$Y=b^2(p-s)^2+as^2(a-2b)$

$Z=b^2(p-s)^2+as(2bp-as)$

$D=s^2(a-b)^2+pb(2as-pb)$

Просто, если Вы хотите сказать, что уже 1-я серия решений задает все решения уравнения $X^2+Y^2=Z^2+D^2$, так это вранье - я Вам контрпример привел.

[individa]

Есть некоторые формулы решения, некоторых Диофантовых уравнений, которые Вы все не знаете. Поэтому я буду потихоньку их тут публиковать. Во многих работах утверждается, что эти формулы существовать не должны, но они есть. Поэтому запрещать их тут печатать не корректно. Я хочу показать, что существует возможность решить довольно большие классы уравнений.
Я не хочу ни с кем, ни чего обсуждать! Я хочу показать некоторые очень интересные формулы!
Что же касаемо Sonic86 я же сказал, что формулы буду потихоньку рисовать.

[nnosipov]

individa в сообщении #781442 писал(а):

Я не хочу ни с кем, ни чего обсуждать!

Вам известно значение слова "форум"? Видимо, нет. Советую внимательно почитать правила форума.

individa в сообщении #781442 писал(а):

Я хочу показать некоторые очень интересные формулы!

А почему они интересны? Может быть, они только Вам и интересны. Вы же не собираетесь это здесь обсуждать.Как Вы нам объясните, чем интересны Ваши формулы?

[individa]

Подождите! Я только начал их рисовать!
Я в самом ближайшее время нарисую решение уравнение Лежанра в общем виде это такое $aX^2+bXY+cY^2=qZ^2$
Ну и некоторые другие. Это уравнение мне больше всего нравится.
А интересны хотя бы тем, что не могли получить формулу решения столько времени. Хоть будете знать как они выглядят.
Я хотя на других форумах их нарисовал, но некоторые из Вас говорят чтоб тут нарисовал и не хотят там эту тему обсуждать, поэтому и решил тут нарисовать.

[nnosipov]

individa в сообщении #781450 писал(а):

А интересны хотя бы тем, что не могли получить формулу решения столько времени.

Что именно не могли получить? Пишите конкретно и ясно. Сформулируйте предмет обсуждения. Иначе тему действительно закроют.

[individa]

Вы что действительно не понимаете, что я говорю?
Ладно напишите мне формулу решения такого простого уравнения $X^2+Y^2=aZ^2$
При каких "а" имеет решений?
А я буду показывать их.