После раздумий в течение часа набросал такое решение.
1) Пусть

Тогда для матрицы

существует обратная матрица

, которая определена однозначно. Решением матричного уравнения

является единственная матрица

Сравнивая с условием

, получаем, что

. Аналогично при

получаем

. Матрицы

удовлетворяют и условию

Значит, если обе матрицы невырожденные, то

.
2) Пусть

. Если

, то, как показано выше,

. Тогда

,

, то есть условие

выполняется. При этом

,

откуда следует, что

- нулевая матрица. Поэтому

(в зависимости от порядка матриц).
Рассуждая аналогично, при

,

получим

.
3) Случай, когда матрицы

и

обе вырождены, невозможен, потому что из заданных в условии задачи равенств следует, что

;

то есть обе матрицы невырождены. Этот случай был рассмотрен выше.
В результате получаем ответ задачи:

.
Правильно?
Решение не оптимальное, потому что воспроизводит ход моих рассуждений над задачей.
Надеюсь, что если решение правильно, то мне не грозит наказание за нарушение правил форума...
