Элементарная задача и СТО

[Nevin]

Задача:
В лабораторной ИСО покоится стержень, длинной $L=1$ м. На концах стержня синхронизованные в ИСО часы.
Мимо, параллельно лабораторному стержню, пролетает стержень №2 с релятивистской скоростью $v=0,8 c$, длинна стержня №2 в лабораторной ИСО также равна 1 м.
Часы на концах стержня №2 синхронизованы в ИСО'.
В момент встречи конца №1 лабораторного стержня с концом №1 движущегося стержня, часы на концах стержней показывает одно и то же время $t=t'=0$
Это событие – начало координат обоих ИСО.


Нужно рассмотреть четыре события встречи концов №1,2 стержня №1 и концов №1,2 стержня №2 друг с другом в ИСО и ИСО' и
Найти:
---------------
а) отношение размеров стержней в ИСО и ИСО';
б) промежутки времени между указанными событиями в ИСО и ИСО'
в) показания всех часов при указанных событиях;

Решение:

а)
Реальная длинна движущегося стержня в ИСО', где он покоится, должна больше, чем в ИСО, где он Лоренцево сокращен, $L'=L/ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=1,6$ м.
Отношение длин стержней в ИСО равно 1 (длинна стержней в ИСО по условию равна 1 м.) (1)
Длина лабораторного стержня №1 в ИСО' движущегося стержня №2 будет меньше реальной длинны 1 м., из-за Лоренцева сокращения $H=1 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=0,6$ м. Отношение длин стержней в ИСО' равно $1,6/0,6 =2,6(6)$ или $0,6/1,6=0,375$. (2)


б)
Промежуток времени между событием встречи концов №1 обоих стержней (начало координат) и событием встречи концов №2 стержней в ИСО равен нулю. (1)
В ИСО' промежуток времени между этими событиями (стержень №1 находится между концами стержня №2), равен $\Delta t' =(L-H) / v =1,25 c.$ (2)

Промежуток времени между событием встречи концов №1 обоих стержней и событием встречи конца №1 стержня №1 с концом №2 стержня №2 (стержень №2 пролетает мимо начала стержня №1) в ИСО равен $\Delta t=L/v=1/0,8=1,25 c.$ (3)
Промежуток времени между этими же событиями в ИСО' равен $\Delta t'=H/v=0,6/0,8=0,75 c.$ (4)

Промежуток времени между событием встречи концов №1 обоих стержней и событием встречи конца №2 стержня №1 и конца №1 стержня №2 (стержень №1 пролетает мимо начала стержня №2) в ИСО равен $\Delta t=L/v=1/0,8=1,25 c.$ (5)
Промежуток времени между этими же событиями в ИСО' равен $\Delta t'=L'/v=1,6/0,8=2 c.$ (6)

Промежуток времени между событием встречи конца №2 стержня №1 с концом №2 стержня №2, и событием встречи конца №2 стержня №1 с концом №1 стержня №2 (стержень №2 пролетает мимо конца стержня №1) в ИСО равен $\Delta t=L/v=1/0,8=1,25 c.$ (7) а в ИСО' равен $\Delta t'=H/v=0,6/0,8=0,75 c.$ (8)

Ну и промежуток времени между событием встреча конца №2 стержня №1 и конца №2 стержня №2 и событием встречи конца №1 стержня №1 и конца №2 стержня №2 (стержень №1 пролетает мимо конца стержня №2) в ИСО равен $\Delta t=L/v=1/0,8=1,25 c.$ (9), а в ИСО' $\Delta t'=H/v=0,6/0,8=0,75 c.$ (10)

Теперь, о показаниях всех часов при указанных событиях
в)
В ИСО при встрече концов №1 обоих стержней (начало координат) показания часов №2 на концах стержней равны $t_1=t_1'=0, t_2'=t_1'-L/v =-1,25$ (11)



При этом же событии (встреча концов №1 обоих стержней) в ИСО' вторые концы стержней и часы на них выглядит так $t_2=t_1+H/v=0,75$ (12)


Противоречие №1
Картины событий встречи концов №2 обоих стержней в ИСО и ИСО' несовместимы.
В ИСО часы №2 стержня №2 показывают прошлое (11), а часы №2 стержня №1 показывают 0 с. (одновременны с событием встречи концов №1 обоих стержней).
В ИСО' часы №2 стержня №2 показываю время большее, чем 0 с., т.к. когда они показывают 0 с. в этой ИСО' концы №1 обоих стержней встречаются.

Чтобы картины одного и того же события – встречи концов №2 обоих стержней оказались совместимы с картинами события №1 – встречи концов №1 обоих стержней (с которым связаны начало СК обоих ИСО), придется предположить, что:
1) либо в ИСО' часы №2 обоих стержней после события встречи концов №1 неожиданно пошли назад в прошлое, чтобы к моменту события встречи концов №2 обоих стержней показывать тоже, что зафиксировано в ИСО, т.е. $t_2'=-1,25, t_2=0$, что, очевидно, абсурд.
2) либо предположить, что картина в ИСО изначально неверна, т.е. часы №2 обоих стержней будут показывать то, что показывают в ИСО' $t_2'=(L-H)/v$ - время за которое конец №2 стержня №1 достигнет конца №2 стержня №2 в ИСО' (оно известно из (2) $\Delta t' =(L-H) / v =1,25 c.$), а часы №2 стержня №1 уйдут вперед и покажут $t_2=0,75+\Delta t' \sqrt{1- \frac{0,8^2}{1^2}}=0,75+1,25 \cdot 0,6=1,5$, что тоже абсурдно.

Вывод: в СТО невозможно непротиворечиво согласовать показания часов и промежутки времени, которые реально измеряются приборами в ИСО и ИСО', между четырьмя событиями (встречи концов №1,2 стержней №1,2) из элементарной задачи.

[Nevin]

warlock66613 в сообщении #780382 писал(а):

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

$L'=L/ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=1,6$

Вы зря так сильно округляете. И-за этого у вас $\Delta t' = 1.25$, а на самом деле $1.33$. Довольно существенная разница.

Принимается.

warlock66613 в сообщении #780382 писал(а):

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

Промежуток времени между этими же событиями в ИСО' равен $\Delta t'=H/v=0,6/0,8=0,75 c.$ (4)

Не $H/v$, а $L'/v = 1.67/0.8=2.08$

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

равен $\Delta t'=L'/v=1,6/0,8=2 c.$ (6)

$-0.75$ на самом деле.

Да, я (4) и (6) перепутал между собой, модули принимается.
Насчет минусов, не согласен. Если промежутки времени отрицательны, то последовательности событий меняются местами, а это не совместимо с измеренными длинами стержней и событием принятым за начало СК обоих СО.

Иными словами, на последних двух картинках изображено, то что фиксируется в ИСО и ИСО' когда происходит событие встречи концов №1 обоих стержней (начало СК обоих ИСО) из первой видно, что по часам синхронизованным в ИСО промежутки времени между всеми четырьмя событиями положительны, из второй видно, что промежутки времени по часам синхронизованным в ИСО' между всеми четырьмя событиями также положительны. Ваши отрицательные промежутки времени я могу интерпретировать только двумя способами:
1). либо между событиями часы начинают идти в обратную сторону (в прошлое), что абсурдно;
2). либо на последних двух рисунках неверно указаны длины стержней (стержень №1 в ИСО' будет больше стержня №2, а потому перепутаны последовательности событий в этой ИСО'), что противоречит Лоренцеву сокращению;
3). либо длина пролетающего стержня №1 в ИСО' скачет (конец стержня телепортируется), что тоже абсурдно.

[warlock66613]

(На самом деле, эта часть сообщения была раньше, чем ответ Nevinа, но, по-видимому из-за относительности времени, получилось вот так.)

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

$L'=L/ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=1,6$

Вы зря так сильно округляете. И-за этого у вас $\Delta t' = 1.25$, а на самом деле $1.33$. Довольно существенная разница.

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

Промежуток времени между этими же событиями в ИСО' равен $\Delta t'=H/v=0,6/0,8=0,75 c.$ (4)

Не $H/v$, а $L'/v = 1.67/0.8=2.08$

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

в ИСО равен $\Delta t=L/v=1/0,8=1,25 c.$ (5)

Не $1.25$, а $-1.25$.

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

равен $\Delta t'=L'/v=1,6/0,8=2 c.$ (6)

$-0.75$ на самом деле.

В (7) правильный ответ $-1.25$, в (8) соответственно $-2.08$.
$-1.25$ (9), $-0.75$ (10)

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

В ИСО при встрече концов №1 обоих стержней (начало координат) показания часов №2 на концах стержней равны $t_1=t_1'=0, t_2'=t_1'-L/v =-1,25$ (11)

С чего это? Показания равны $t_2' = \gamma (t_2 -vx_2) = (1/0.6)(0 +0.8 \cdot 1) =+1.33$.

-- 26.10.2013, 15:35 --

Nevin в сообщении #780407 писал(а):

Если промежутки времени отрицательны, то последовательности событий меняются местами

Так у вас там промежтки времени между "событием, которое происходит позже" и "событием, которое происходит до".

-- 26.10.2013, 15:40 --

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

При этом же событии (встреча концов №1 обоих стержней) в ИСО' вторые концы стержней и часы на них выглядит так $t_2=t_1+H/v=0,75$ (12)

В ИСО' при встрече первых концов имеем $t_1 = t_1' = t_2' = 0$, $t_2 = \gamma (t_2' + vx_2') = (1/0.6)(0 - 0.8 \cdot 1.67) = -1.33/0.6 = -2.22$

-- 26.10.2013, 15:46 --

Nevin в сообщении #780366 писал(а):

Картины событий встречи концов №2 обоих стержней

Так вы же выше писали про встречу концов №1!

-- 26.10.2013, 15:49 --

Вообще конечно лучше это всё на диаграмме нарисовать, там всё видно будет. Сейчас попробую изобразить.

[Nevin]

warlock66613 в сообщении #780410 писал(а):

Nevin в сообщении #780366
писал(а):
В ИСО при встрече концов №1 обоих стержней (начало координат) показания часов №2 на концах стержней равны $t_1=t_1'=0, t_2'=t_1'-L/v =-1,25$ (11)
С чего это? Показания равны $t_2' = \gamma (t_2 -vx_2) = (1/0.6)(0 +0.8 \cdot 1) =+1.33$.

Так
понятно, это картинка в ИСО.

Теперь нужна мгновенная картинка в ИСО' для того же события.
Судя по Вашей формуле, должно быть так


-- 26.10.2013, 17:05 --

Посчитаем время по часам №2 стержня №1, которое пройдет до момента встречи концов №2 обоих стержней.
$t_2=-0,8+(L-H)/v \sqrt{1-\frac{0,8^2}{1^2}}=0,8+1,06(6)/0,8 \cdot 0,6= 0$
Все сходится.
Посчитаем время на часах №2 стержня №2
$t_2'=0+(L-H)/v=1,3(3)$
Тоже все сходится.

Отлично.
Теперь посмотрим, что произойдет в ИСО, если в ИСО' в период времени, когда стержень №1 двигается между концами стержня №2 что-нибудь сделать "нехорошее". В ИСО ведь этот промежуток времени равен нулю.
К примеру, когда концы №1 обоих стержней уже сдвинулись, в ИСО конец №2 стержня №2 находится между концами стержня №1 (конец №1 стержня №2 уже "вне" стержня №1), а в ИСО' в этот же момент (сразу после события встречи концов №1 обоих стержней – начала СК), оба конца стержня №1 находятся "внутри" стержня №2.
Представим, на секундочку, что в ИСО' мы резко ускоряем конец №2 стержня №2, до скорости $v=0,8c$ так, чтобы событие встречи концов №2 обоих стержней никогда не состоялось.
Можно и медленно ускорять, тогда просто придется увеличить абсолютную длину стержней, чтобы времени на медленный разгон хватило.

Очень интересно, что же будут наблюдать в ИСО в этот момент ?

[Nevin]

В частности, интересует, каковы будут показания часов №2 стержня №2 в момент старта.
По версии ИСО' к началу ускорения, они уже пройдут отметку ноль и покажут что-то положительное, а по версии ИСО они еще, как бы, не должны дойти до конца №2 стержня №1 в момент начала ускорения, и должны показывать что-то отрицательное.

Вот меня и интересует:
За время ускорения часы №2 стержня №2 будут идти назад (в прошлое) в ИСО', чтобы соответствовать версии ИСО ?
Или же, в ИСО' они будут идти нормально (в будущее), но в ИСО зафиксируют телепортацию конца №2 стержня №2 "изнутри" стержня №1 во вне, с одновременным скачком в прошлое (до момента встречи концов №2 обоих стержней) ?

[warlock66613]

Вот. Масштаб соблюдён ($c = 1$). Четыре цветных стрелки - это четверо часов. Зелёная - первый конец первого стерженя, синяя - второй конец первого стержня, фиолетовая - первый конец второго стержня, красная - второй конец второго стержня. Направление стрелок показывает в какую сторону идут часы.
$A$ - это встреча злёных и фиолетовых часов, $B$ - зелёных и красных, $C$ - синих и красных, $D$ - синих и фиолетовых.
$(x, t)$ - ИСО, $(x', t')$ - ИСО'.

На первом рисунке $AC = 1$ - длина стержней, $AB = 1/0.8 = 1.25$ - время за которое второй стержень пролетает мимо первого конца первого стержня. Остюда по теореме Пифагора (в псевдоевклидовом пространстве) $AD=BC=\sqrt {1.25^2 - 1^2} = 0.75$ - время пролёта первого и второго концов второго стержня вдоль первого стержня по часам на втором стержне.
Чтобы определить показания коричневых часов в точках $C$ и $D$ надо построить проекции на ось $t'$. Сделать это затруднительно из-за псевдоевклидовости геометрии. Поэтому посторим этот же рисунок ещё раз, но повернув так, чтобы были удобно расположены оси $(x', t')$ (второй рисунок). Здесь координата $x'$ точки $B$ равна $x'_B = 1.67$ - длине второго стержня, а разность координат $t'$ в точках $A$ и $B$ равна $t'_B-t'_A = 1.67 / 0.8 = 2.09$ - времени пролёта первого конца первого стержня вдоль второго стержня. Видно, что события в ИСО' просходят в последовательности $D-A-C-B$, причём не составляет труда найти координату $t'$ точки $C$ (то есть показания красных часов второго стержня в момент совпадения вторых концов стержней) - она оказывается равной $2.09 - 0.75=1.33$.

В общем на этих рисунках можно наглядно проследить все проделанные выше расчёты и легко найти ответ на все вопрсы задачи. И без всяких противоречий.

-- 26.10.2013, 21:36 --

С ускорениями всё усложняется. Щас думать неохота, может как-нибудь потом. Но уверяю вас, что если всё посчитать без ошибок, то противоречий не будет.

[arseniiv]

По-моему, оси расположены неправильно. Поворот ведь не обычный, а гиперболический! Если пустить по этим диаграммам свет, его скорость будет разной в ИСО и ИСО′.

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #780533 писал(а):

По-моему, оси расположены неправильно.

В смысле штрихованные на первой картинке и нештрихованные на второй? Да, так и есть. Ну не буду перерисовывать, я думаю, понятно, как оно должно быть.

-- 26.10.2013, 23:20 --

Кстати, возник вопрос: есть ли где-нибудь в литературе формальное рассмотрение такой "проекции" (или можно без кавычек?) псевдоевклидова пространства на евклидово?

[arseniiv]

warlock66613 в сообщении #780548 писал(а):

Ну не буду перерисовывать, я думаю, понятно, как оно должно быть.

Мне кажется, понятно как раз тем, кому и так ничего не надо объяснять, и непонятно тем, кому надо. Тем более что я тут как раз нарисовал в GeoGebra:

  

Первая картинка для ИСО, последняя для ИСО′, а средняя для «промежуточной» системы, движущейся относительно обоих. Масштаб условный, но на всех картинках и по обоим осям одинаковый. Вертикальная ось — условно временна́я, потому от точек проведены отрезки к ней.

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #780548 писал(а):

Кстати, возник вопрос: есть ли где-нибудь в литературе формальное рассмотрение такой "проекции" (или можно без кавычек?) псевдоевклидова пространства на евклидово?

Шайтан-проекция! (Извините.)

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #780560 писал(а):

GeoGebra

Удобная программка, буду теперь пользоваться. Вот исправленные оси (нарисовал ею):

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #780560 писал(а):

Шайтан-проекция! (Извините.)

Да не за что.

[arseniiv]

(Про GeoGebra.)

Да, надо было, видимо, мне тоже оси нарисовать.

Если бы там ещё и соответствующий поворот был из коробки! А так пришлось преобразовывать векторы $\mathbf i, \mathbf j$ и остальное строить на них, чтобы рисунок перестраивался в зависимости от выбранного поворота. Не думаю, что сложные диаграммы таким образом можно будет нарисовать.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Ну так она OpenSource (хотя с ограничениями). Так что в принципе можно дописать и даже постараться "в коробку" впихнуть.

[arseniiv]

(2 warlock66613.)

По-моему, она уже и так перегружена. Таким путём её всё равно до нормальной СКА не довести.

[Nevin]

С каждой из диаграмм по отдельности понятно, а вот как одна переходит в другую непонятно. Почему поворотом называют, когда там еще сдвиги (изменение масштаба) ?

warlock66613 в сообщении #780548 писал(а):

Кстати, возник вопрос: есть ли где-нибудь в литературе формальное рассмотрение такой "проекции" (или можно без кавычек?) псевдоевклидова пространства на евклидово?

Присоединяюсь, ответ "шайтан-проекция" не понял. Что мешает отобразить псевдоевклидово пространство на евклидово ?
И неужели нет програмки, где эти оси можно крутить в реальном времени, чтобы на опыте ощутить, как эти повороты и сдвиги при переходе между ИСО происходят ?

P.S. Вопрос про ускорения снимаю.
Ощущения от этой СТО, как от матрицы. Что бы ты не делал (в родном Евклиде), кто-то за кулисами сделает так, чтобы обращенные к зрителям стороны (псевдоевклидовых) декораций выглядели, как настоящее, чтоб никто и никогда не увидел их бутафорскую изнанку из картона и папье-маше.

[warlock66613]

Nevin в сообщении #780715 писал(а):

Почему поворотом называют, когда там еще сдвиги (изменение масштаба) ?

Ну представьте рисунок (проекцию) куба. Если вы будете крутить куб, то ваш плоский рисунок будет при этом не просто поворачиваться. Что-то похожее происходит, когда мы пытаемся изобразить псевдоевклидову плоскость на обыном, евклидовом листе бумаги. В частности, при повороте изображения осей становятся неперпендикулярными (при том, что сами оси (а не изображения) конечно остаются ортогональными).