ОДУ: совпадение решений

[Varravann]

День добрый!

Собственно, у меня вопрос простой (я даже сомневался, не положить ли его в "Помогите разобраться").. Не помнит ли кто, в какой официально изданной книге можно найти доказательство следующего довольно очевидного факта (чтобы можно было сослаться):
пусть у нас есть две системы ОДУ:
dx/dt=f(t,x)
dy/dt=g(t,y)
причем начальные значения для обеих систем одинаковые : x(0)=y(0)=z,
функции f и g совпадают на некотором замкнутом ограниченном множестве G, содержащем (0,z),
хотя определены и непрерывно дифференцируемы (или липшецевы) на открытом множестве, содержащем G в себе;
тогда решения x(t) и y(t) существуют, единственны и продолжимы за G (это все следует из общеизвестных теорем) и совпадают на G (а доказательство вот этого я и ищу).


Конечно, понятно, что это несложно доказать и "руками", но уж больно не хочется. В доступных мне учебниках я такого утверждения не нашел (может, плохо искал).

[AD]

Varravann писал(а):

функции f и g совпадают на некотором замкнутом ограниченном множестве G, содержащем (0,z),

Про связность $G$ что-нибудь известно? А то может быть так, что $G=\{(0,z), (100000,100000)\}$, открытое множество состоит из их маленьких окрестностей, и даже единственности не видно.

[Varravann]

AD
Область G - "хорошая", односвязная. От нее можно требовать сколь угодно гладкой границы (точнее, кусочно-гладкой). Короче, смотрим случай без паталогий.

P.S. Еще один вопрос почти в тему (на самом деле он нужен для доказательства искомого факта "руками"): где можно посмотреть теоремки по поводу продолжения функций? К примеру, у нас есть та же самая замкнутая и "хорошая" область G и на ней определена функция f(x), непрерывная вместе со всеми частными производными по компонентам аргумента x (G лежит в конечномерном R^n). При каких условиях на f и G можно продлить f за G (т.е. доказать существование некого открытого множества Ge, содержащего G в себе, и функции fe(x), непрерывной вместе с частными производными по компонентим x на Ge и совпадающая с f(x) на G)?

[Дмитрий Хованский]

Varravann писал(а):

День добрый!

...причем начальные значения для обеих систем одинаковые : x(0)=y(0)=z,
функции f и g совпадают на некотором замкнутом ограниченном множестве G, содержащем (0,z)... тогда решения x(t) и y(t) существуют, единственны и ... совпадают на G (а доказательство вот этого я и ищу).

Простите, я наверное, что-то не понял. Если функции $f$ и $g$ совпадают на $G$, то мы имеем следующие уравнения
$\dot{x}=f(t,x)$, $\dot{y}=f(t,y)$, $t\in G$ и
$x(0)=y(0)=0$, при этом $0$ с некоторой своей окрестностью лежат в $G$

Тогда по теореме о единственности решения $x(t)\equiv y(t)$, $t\in G$. Это и есть совпадение решений на $G$.

Добавлено спустя 4 минуты 36 секунд:

Про продолжаемые и непродолжаемые решения можно посмотреть книжку Л. С. Понтрягина "ОДУ" (стр. 173 "Непродолжаемые решения"). Там что-то похожее было.