Сколько точек..Наивный вопрос...

[VAL]

mihailm в сообщении #778453 писал(а):

Получается через 4 точки.
Рассуждение: Пишем параметризацию спирали (там 7 параметров), подставляем $t_1,t_2,t_3,t_4$ туда, получаем 12 уравнений и 11 неизвестных, правдоподобно?))

Получается такой же вывод как в приведенный статье (но полученный гораздо проще ).
Трех точек мало, а четырех в общем случае уже слишком много.

-- 22 окт 2013, 12:47 --

bot в сообщении #778468 писал(а):

bot в сообщении #778439 писал(а):

Кажется поторопился

Нет, не поторопился. Берём цилиндр и мотаем на него две линии с неизмеримыми шагами. Эти линии имеют бесконечно много точек пересечения.

Это так. Но означает ли это что если мы возьмем, скажем, 3 точки из этого бесконечного множества и еще одну от фонаря, то найдется хотя бы одна винтовая линия, проходящая через них.
Иными словами, получается, что существуют сколь угодно большие наборы точек, которые винтовую линию однозначно не определяют.
Но в этом нет ничего удивительного. Например, существуют сколь угодно большие наборы точек, которые плоскость однозначно не определяют. Но это же не отменяет того факта, что плоскость однозначно определяется тремя точками.

[Oleg Zubelevich]

Положение винтовой линии в пространстве это 6 параметров+ шаг винта+ радиус=8 параметров. (даже возможно 7 параметров из-за того, что винтовую линию можно прокручивать вдоль себя)
Три точки это 9 параметров. Вроде бы должна определяться 3 точками, но видимо, не любыми

[iifat]

VAL в сообщении #778423 писал(а):

Конечно, 4

Спасибо. Уже сообразил.

VAL в сообщении #778423 писал(а):

А Вас не смущает, что три точки определяют окружность, вырожденный частный случай винтовой линии?

И это тоже. Вы правы.
Возможно, стоит попробовать взять поверхность второго порядка — уж ежли точки определяют винтовую, то и цилиндр они определят однозначно. Несколько уравнений с подстановкой координат, ещё несколько — чтоб получился круговой цилиндр.
Второй этап — возможно, попробовать развёртку цилиндра. Каждая точка перейдёт в набор точек на бесконечной горизонтальной прямой; любая косая прямая, проходящая через все точки (ну, по одной от каждой) даёт при обратной завёртке винтовую линию.

-- 22.10.2013, 22:07 --

Oleg Zubelevich в сообщении #778505 писал(а):

Вроде бы должна определяться 3 точками

Не, это уже рассмотрели. Через любые три проходит вырожденная винтовая сиречь окружность.

[PSP]

Sender в сообщении #778462 писал(а):

Вот нашёл статью в тему: http://eprints.maths.ox.ac.uk/1445/1/finalOR59.pdf

Спасибо!Буду разбираться.

Итак,есть предположение, что обыкновенная винтовая линия однозначно определяется 4-мя точками.
Можно ли это доказать строго ?
И если это так,можно ли уравнение такой винтовой линии выразить через координаты этих точек ? (так же,как это делается для прямой )

[Oleg Zubelevich]

А через три заданные точки наверное проходит какое-нибудь конечное множество спиралей

[iifat]

Sender в сообщении #778462 писал(а):

Вот нашёл статью в тему

Да, вопрос, похоже, закрыт.

-- 22.10.2013, 22:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #778539 писал(а):

через три заданные точки наверное проходит какое-нибудь конечное множество спиралей

Не. Судя по статье, бесконечное. А через четыре — в общем случае — ни одной.

[PSP]

iifat в [url=http://dxdy.ru/post778529.html#p778529] писал(а):

Второй этап — возможно, попробовать развёртку цилиндра. Каждая точка перейдёт в набор точек на бесконечной горизонтальной прямой; любая косая прямая, проходящая через все точки (ну, по одной от каждой) даёт при обратной завёртке винтовую линию.

Такая линия лежит на цилиндре.Цилиндр можно развернуть в плоскость ,и эта линия станет прямой.
Получается,три точки определят плоскость, ещё одна (особым образом выбранная) - прямую- итого 4 точки.
Получается,действительно,4 точки (выбранные особым образом) определяют единственную винтовую линию...
Я правильно понимаю ситуацию ?

-- Вт окт 22, 2013 14:49:03 --

iifat в сообщении #778542 писал(а):

А через четыре — в общем случае — ни одной.

А какие условия надо наложить на эти четыре точки, чтобы они однозначно определяли такую линию ?

[VAL]

PSP в сообщении #778545 писал(а):

А какие условия надо наложить на эти точки, чтобы они однозначно определяли такую линию ?

А Вы статью, которую в ответ на Ваш вопрос выложили, смотрели? Я лично - по диагонали. Но я ничего и не спрашивал

[PSP]

VAL в сообщении #778550 писал(а):

PSP в сообщении #778545 писал(а):

А какие условия надо наложить на эти точки, чтобы они однозначно определяли такую линию ?

А Вы статью, которую в ответ на Ваш вопрос выложили, смотрели? Я лично - по диагонали. Но я ничего и не спрашивал

Смотрел статью,но с моим знанием английского понял,что ответ на вопрос не строг.Поэтому и спросил,поскольку может,кто-то из статьи понял больше,чем я.
У меня возникло следующее предположение :
4 точки в пространстве в общем случае определяют 4 плоскости.
Если какие 2 плоскости из 4х совпадают,то эти 4 точки определяют единственную обыкновенную линию.
Истинно ли моё предположение ?
Или можно выдвинуть другой ограничивающий фактор ?

[VAL]

PSP в сообщении #778556 писал(а):

VAL в сообщении #778550 писал(а):

PSP в сообщении #778545 писал(а):

А какие условия надо наложить на эти точки, чтобы они однозначно определяли такую линию ?

А Вы статью, которую в ответ на Ваш вопрос выложили, смотрели? Я лично - по диагонали. Но я ничего и не спрашивал

Смотрел статью,но с моим знанием английского понял,что ответ на вопрос не строг.Поэтому и спросил,поскольку может,кто-то из статьи понял больше,чем я.

Я понял следующее:
Через 4 точки в общем случае не проходит ни одной винтовой линии.
Через 3 точки проходит континуум винтовых линий.
Если добавить к трем точкам еще какое-то ограничение (радиус, кривизна, кручение...), то останется счетное число винтовых линий.

Еще там упомянуты вопросы, оставшиеся открытыми:
Какие условия надо наложить на n точек, чтобы они лежали на одной винтовой линии?
При каких условии 5 точек лежат на одном цилиндре?
Как найти кратчайшую винтовую линию, проходящую через данные три тточки?
И т.п.

[PSP]

Цитата:

PSP в [url=http://dxdy.ru/post778545.html] писал(а):

Смотрел статью,но с моим знанием английского понял,что ответ на вопрос не строг.Поэтому и спросил,поскольку может,кто-то из статьи понял больше,чем я.

Я понял следующее:
Через 4 точки в общем случае не проходит ни одной винтовой линии.
Через 3 точки проходит континуум винтовых линий.
Если добавить к трем точкам еще какое-то ограничение (радиус, кривизна, кручение...), то останется счетное число винтовых линий.

Еще там упомянуты вопросы, оставшиеся открытыми:
Какие условия надо наложить на n точек, чтобы они лежали на одной винтовой линии?
При каких условии 5 точек лежат на одном цилиндре?
Как найти кратчайшую винтовую линию, проходящую через данные три точки?
И т.п.

Понятно.
Через 4 точки в общем случае не проходит ни одной винтовой линии,а не в общем ?
Тогда задачу надо ставить так :
Как задать 4 точки в пространстве,чтобы они определяли единственную обыкновенную винтовую линию ,чтобы она через них проходила?
Я правильно понимаю ?

В общем случае :
Сколько и как надо задать точки, чтобы через них однозначно проходила единственная обыкновенная винтовая линия?
На этот вопрос статья не ответила.

[VAL]

PSP в сообщении #778580 писал(а):

Цитата:

Еще там упомянуты вопросы, оставшиеся открытыми:
Какие условия надо наложить на n точек, чтобы они лежали на одной винтовой линии?

Понятно.
Через 4 точки в общем случае не проходит ни одной винтовой линии,а не в общем ?
Тогда задачу надо ставить так :
Как задать 4 точки в пространстве,чтобы они определяли единственную обыкновенную винтовую линию ,чтобы она через них проходила?
Я правильно понимаю ?

Это частный вопрос более общего (я его оставил).
Общий не решен. А частный? Надо внимательнее посмотреть статью. (А кому надо - вопрос отдельный )

[PSP]

VAL в сообщении #778588 писал(а):

PSP в сообщении #778580 писал(а):

Цитата:

Еще там упомянуты вопросы, оставшиеся открытыми:
Какие условия надо наложить на n точек, чтобы они лежали на одной винтовой линии?

Понятно.
Через 4 точки в общем случае не проходит ни одной винтовой линии,а не в общем ?
Тогда задачу надо ставить так :
Как задать 4 точки в пространстве,чтобы они определяли единственную обыкновенную винтовую линию ,чтобы она через них проходила?
Я правильно понимаю ?

Это частный вопрос более общего (я его оставил).
Общий не решен. А частный? Надо внимательнее посмотреть статью. (А кому надо - вопрос отдельный )

Как минимум - мне.На основе решения этого вопроса можно будет поставить весьма важный и интересный физический эксперимент.А вот результаты такого эксперимента ,не исключаю,нужны могут быть многим.
Но я не большой математик.Поэтому и прошу помощи.

[PSP]

Пришёл к выводу,что нужно 4 точки, но такие, которые лежат на 4 не совпадающих плоскостях.
Вот только как это доказать?
Или я ошибаюсь ?

[Sender]

Там предлагается сначала проверить принадлежность этих точек некоторому однопараметрическому семейству цилиндров (условие (18)), а потом для каждого из них проверить выполнение условий леммы 1. Всё сводится к решению системы трансцендентных уравнений. Ну и, конечно, не стоит забывать о справедливом замечании botа.