Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)

[Urnwestek]

Задача: Если $f(x)-f(x_0) = \varphi(x)(x-x_0)$ и $\varphi \in C^{(n-1)}(U(x_0))$, где $U(x_0)$ — окрестность точки $x_0$, то функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную $f^{(n)}(x_0)$ порядка $n$.

Решение:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \varphi(x)$$

возьмем предел $x \to x_0$

$$f'(x_0) = \varphi(x_0)$$

продифференцируем по $dx$ левую и правую часть $n-1$ раз

$$f^{(n)}(x_0) = \varphi^{(n-1)}(x_0)$$

Но зачем тогда нужно условие на дифференцируемость $n-1$ раз $\varphi$ в некоторой окрестности точки $x_0$ если достаточно условия дифференцируемости $n-1$ раз только в точке $x_0$?

[provincialka]

Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство? Ведь $x_0$ - константа!

[Urnwestek]

provincialka в сообщении #777755 писал(а):

Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство? Ведь $x_0$ - константа!

Действительно, не подумал, спасибо.

[_hum_]

provincialka в сообщении #777755 писал(а):

Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство?

Так а если, отправляясь от

Urnwestek в сообщении #777754 писал(а):

$$f'(x_0) = \varphi(x_0)$$

использовать последовательные передельные переходы в правой и левой частях:

$$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f^{(k)}(x) - f^{(k)}(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\varphi^{(k-1)}(x) - \varphi^{(k-1)}(x_0)}{x - x_0}, \quad k = 1,\dots, n,$$

тогда как объяснить требование наличия непрерывной дифференцируемости в окрестности точки?

[Urnwestek]

Ну тут вроде бы очевидно, та $\varphi^{(k-1)}(x)$, что у вас в правой части равенства записана должна же существовать.

[_hum_]

а непрерывность зачем? или у Зорича это обозначает только дифференцируемость?

[Null]

Там дифференцируемости $n-1$ раз функции $\varphi(x)$ не хватит.

[_hum_]

Null в сообщении #777773 писал(а):

Там дифференцируемости $n-1$ раз функции $\varphi(x)$ не хватит.

А в каком именно месте? :)

[Null]

Пусть n=1 Тогда $f(x)-f(x_0) = \varphi(x)(x-x_0)$ Если $\varphi(x)$ - разрына в $x_0$ и дифференцируемости не будет.

[_hum_]

согласен, но зачем непрерывность в окрестности $x_0$?

[Null]

Так короче запись условия.

[Urnwestek]

Спасибо, теперь всё понятно.

[_hum_]

Null в сообщении #777782 писал(а):

Так короче запись условия.

А, ну тогда ясно (хотя это более сильное условие).