2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:13 
Аватара пользователя
Задача: Если $f(x)-f(x_0) = \varphi(x)(x-x_0)$ и $\varphi \in C^{(n-1)}(U(x_0))$, где $U(x_0)$ — окрестность точки $x_0$, то функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную $f^{(n)}(x_0)$ порядка $n$.

Решение:
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \varphi(x)$$
возьмем предел $x \to x_0$
$$f'(x_0) = \varphi(x_0)$$
продифференцируем по $dx$ левую и правую часть $n-1$ раз
$$f^{(n)}(x_0) = \varphi^{(n-1)}(x_0)$$

Но зачем тогда нужно условие на дифференцируемость $n-1$ раз $\varphi$ в некоторой окрестности точки $x_0$ если достаточно условия дифференцируемости $n-1$ раз только в точке $x_0$?

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:16 
Аватара пользователя
Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство? Ведь $x_0$ - константа!

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:18 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #777755 писал(а):
Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство? Ведь $x_0$ - константа!

Действительно, не подумал, спасибо.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:29 
provincialka в сообщении #777755 писал(а):
Как вы собираетесь дифференцировать числовое равенство?

Так а если, отправляясь от
Urnwestek в сообщении #777754 писал(а):
$$f'(x_0) = \varphi(x_0)$$

использовать последовательные передельные переходы в правой и левой частях:

$$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f^{(k)}(x) - f^{(k)}(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\varphi^{(k-1)}(x) - \varphi^{(k-1)}(x_0)}{x - x_0}, \quad k = 1,\dots, n,$$

тогда как объяснить требование наличия непрерывной дифференцируемости в окрестности точки?

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:37 
Аватара пользователя
Ну тут вроде бы очевидно, та $\varphi^{(k-1)}(x)$, что у вас в правой части равенства записана должна же существовать.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:42 
а непрерывность зачем? или у Зорича это обозначает только дифференцируемость?

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:51 
Там дифференцируемости $n-1$ раз функции $\varphi(x)$ не хватит.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 20:52 
Null в сообщении #777773 писал(а):
Там дифференцируемости $n-1$ раз функции $\varphi(x)$ не хватит.

А в каком именно месте? :)

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 21:04 
Пусть n=1 Тогда $f(x)-f(x_0) = \varphi(x)(x-x_0)$ Если $\varphi(x)$ - разрына в $x_0$ и дифференцируемости не будет.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 21:07 
согласен, но зачем непрерывность в окрестности $x_0$?

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 21:08 
Так короче запись условия.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 21:11 
Аватара пользователя
Спасибо, теперь всё понятно.

 
 
 
 Re: Вопрос о дифференцируемых функциях (Зорич V.2.5b)
Сообщение20.10.2013, 21:11 
Null в сообщении #777782 писал(а):
Так короче запись условия.

А, ну тогда ясно (хотя это более сильное условие).

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group