Потеря решения в ДУ

[Limit79]

Есть такое дифф. уравнение:

$$y' = \frac{\sqrt{y^2-1}}{x}$$

Его общий интеграл будет:

$$\frac{y+\sqrt{y^2-1}}{x} = C$$

В ходе решения мы делили обе части уравнения на $\sqrt{y^2-1}$, то есть могли потерять возможное решение $y=1$, и оно действительно является решением. В таких случаях, в конце решения проверяют, входит ли это потерянное решение в общее решение или нет (при некотором значении константы). Не могу понять, можно ли подобрать такую константу $C$, чтобы данный общий интеграл ДУ принял вид $y=1$?

-- 20.10.2013, 16:41 --

В этом примере, имхо, решение $y=1$, не входит в общий интеграл, так как нельзя подобрать такое значение константы, при котором общий интеграл преобразовался бы к виду $y=1$.

Попробуем привести общий интеграл к виду $y=1$:

Как минимум, надо избавиться от $x$, а это возможно только при $C=0$. Тогда получаем $y+\sqrt{y^2-1} = 0$, а вот такое выражение уже никак не привести к виду $y=1$. То есть решением данного диффура будет совокупность общего интеграла ДУ и $y=1$?

[Otta]

Limit79 в сообщении #777607 писал(а):

можно ли подобрать такую константу $C$, чтобы данный общий интеграл ДУ принял вид $y=1$?

Зачем? Либо это решение, либо не решение. Оно не обязано "вписываться" в другое семейство решений.

[Limit79]

Otta
Но если $y=1$ содержится в общем решении, то в ответе надо указать только общее решение, а если не содержится, то оба.

[Otta]

Ну и указывайте оба.

[Limit79]

Otta
В таком случае, если $y=1$ входит в общее решение, то указание его в ответе будет излишне

Мне это не принципиально, просто в учебнике видел подобный случай (только там общее решение было в явном виде), и там они проверили, сказали, что это частное (или как оно называется?) решение содержится в общем, при таком-то значении константы, и, ответом будет только общее решение. А вот подобных примеров, где ответ в виде общего интеграла ДУ - не видел, поэтому и спрашиваю, как поступают в подобных ситуациях...

-- 20.10.2013, 17:08 --

Аналогично, если общее решение, например, $y=x^2+C$, то мы же в ответе пишем: $y=x^2+C$, а не совокупность из $y=x^2+C$, $y=x^2+1$, $y=x^2+2$...

Это, конечно, некрасиво, но ошибки по сути нет, но может есть какой-то прием, как поступать в подобных ситуациях?

[Otta]

Limit79 в сообщении #777626 писал(а):

В таком случае, если $y=1$ входит в общее решение

Опять за рыбу деньги. А оно входит?

[Limit79]

Otta
Не поймите меня неправильно: мне не принципиально, в каком виде записать ответ: в виде совокупности общего интеграла и этого (частного?) решения или же только в виде общего интеграла, хотел узнать как будет правильнее

[provincialka]

А $y= -1$ будет решением?

[Otta]

Limit79
Ну Вы же видите, что в общее семейство решений оно не попадает. Сами же писали в стартовом посте.
(И не попадет, оно особое, если это слово Вам о чем-то говорит.) Так в чем же дело? У Вас нет другого выхода, кроме как указать его явно. Через запятую.

[Limit79]

provincialka
Точно, входит! То есть $y=\pm1$

Otta в сообщении #777642 писал(а):

Ну Вы же видите, что в общее семейство решений оно не попадает. Сами же писали в стартовом посте.

Сначала я сомневался, потом уже до этого додумал...
Понял Вас

provincialka
Otta
Большое спасибо за помощь!