Об одной гипотезе для простых чисел

[Someone]

vorvalm в сообщении #777156 писал(а):

Someone в сообщении #776964 писал(а):

Проверил все пары соседних простых чисел, меньших $10000$. В каждом случае между их квадратами есть пары близнецов.

Это ни о чем не говорит.

А я делал какие-то выводы?

[vorvalm]

Someone в сообщении #777413 писал(а):

А я делал какие-то выводы?

Извиняюсь, но я имел в виду слишком маленький интервал.

-- Вс окт 20, 2013 07:37:47 --

vicvolf в сообщении #777384 писал(а):

Если гипотеза Диксона справедлива, то для простых кортежей выполняется следующее утверждение.

Все утверждения, основанные на гипотезах, остаются гипотезами.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #777449 писал(а):

vicvolf в сообщении #777384 писал(а):

Если гипотеза Диксона справедлива, то для простых кортежей выполняется следующее утверждение.

Все утверждения, основанные на гипотезах, остаются гипотезами.

Да, это гипотеза.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #777384 писал(а):

количество интервалов $(p^2_i, p^2_{i+1})$, на которых присутствует хотя бы один данный кортеж, бесконечно.

Этот интервал является составной частью интервала Ip.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #777449 писал(а):

Someone в сообщении #777413 писал(а):

А я делал какие-то выводы?

Извиняюсь, но я имел в виду слишком маленький интервал.

Вот подтверждение A057767.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #777559 писал(а):

Вот подтверждение A057767
.

Чего???

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #777563 писал(а):

vicvolf в сообщении #777559 писал(а):

Вот подтверждение A057767
.

Чего???

У Вас что проблемы с английским? Это подтверждение гипотезы на большом интервале.

[vorvalm]

Подтверждением вашей гипотезы может быть, как минимум,
доказательство бесконечности близнецов.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #776791 писал(а):

Более сильная гипотеза другая - на интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов. Из справедливости ее следует справедливость приведенной мною гипотезы. Но ее надо проверять!

Проверил более сильную гипотезу:

На интервале $3^2,5^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $5^2,7^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $7^2,9^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $11^2,13^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $13^2,15^2$ - 3 пары близнецов (179,181 191,193 197,199).
На интервале $17^2,19^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $19^2,21^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $23^2,25^2$ - 3 пары близнецов (569,571 599,601 617,619).
На интервале $29^2,31^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $31^2,33^2$ - 4 пары близнецов (1019,1021 1031,1033 1049,1051 1061,1063).
На интервале $37^2,39^2$ - 4 пары близнецов (1427,1429 1451,1453 1481,1483 1487,1489).
На интервале $41^2,43^2$ - 3 пары близнецов (1697,1699 1721,1723 1787,1789).
Обратите внимание, что это первая пара квадратов близнецов, между которыми количество близнецов больше 2.
На интервале $43^2,45^2$ - 5 пар близнецов (1871,1873 1877,1879 1931,1933 1949,1951 1997,1999).
На интервале $47^2,49^2$ - 5 пар близнецов (2237,2239 2267,2269 2309,2311 2339,2341 2381,2383).
На интервале $53^2,55^2$ - 2 пары близнецов.
На интервале $59^2,61^2$ - 4 пары близнецов (3539,3541 3557,3559 3581,3583 3671,3673).
На интервале $61^2,63^2$ - 5 пар близнецов (3767,3769 3821,3823 3851,3853 3917,3919 3929,3931).
На интервале $67^2,69^2$ - 5 пар близнецов (4517,4519 4547,4549 4637,4639 4649,4651 4721,4723).
На интервале $71^2,73^2$ - 3 пары близнецов (5099,5101 5231,5233 5279,5281).
На интервале $73^2,75^2$ - 5 пар близнецов (5417,5419 5441,5443 5477,5479 5501,5503 5519,5521).
и.т.д.

Таким образом, на указанном интервале между $p^2,(p+2)^2$, находятся не менее 2-х пар близнецов, т.е. гипотеза выполняется с запасом.

Утверждение
В случае, если справедлива гипотеза - на интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов, то справедлива гипотеза - между квадратами двух последовательных простых чисел находится, по крайнем мере, одна пара простых близнецов (из первого сообщения темы).

Доказательство
1. На интервале $(2^2, 3^2)$ находится одна пара близнецов - 5,7.
2. Между квадратами простых близнецов находится хотя бы один близнец.
3. Между квадратами других последовательных простых чисел находится хотя бы один близнец,
так как он уже есть не на полном интервале - $p^2,(p+2)^2$.

Большая просьба. Если кто-нибудь встречал более сильную гипотезу в литературе, то дайте ссылку? Может кто-то может указать контрпример?

[vicvolf]

Следствие 1
Из гипотезы - между квадратами двух последовательных простых чисел находится, по крайнем мере, одна пара простых близнецов (из первого сообщения темы) следует, что количество простых близнецов бесконечно.

Действительно, так как количество простых чисел бесконечно, то бесконечно и число их квадратов и соответственно интервалов между квадратами, следующих друг за другом простых чисел. Так как на основании указанной выше гипотезы на каждом таком интервале находится хотя бы один простой близнец, то количество простых близнецов бесконечно.

Следствие 2
Из более сильной гипотезы - на интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, имеется хотя бы одна пара простых близнецов следует, что количество простых близнецов бесконечно.

Так как количество простых чисел бесконечно и простое число р в гипотезе выбрано произвольно, то количество интервалов $p^2,(p+2)^2$ бесконечно. Так как на основании указанной выше гипотезы на каждом таком интервале находится хотя бы один простой близнец, то количество простых близнецов бесконечно.

Кроме сильной гипотезы возможна слабая гипотеза - между квадратами двух последовательных простых чисел, не являющихся простыми близнецами, находится, по крайнем мере, одна пара простых близнецов.

Следствие 3
Из слабой гипотезы - между квадратами двух последовательных простых чисел, не являющихся простыми близнецами, находится, по крайнем мере, одна пара простых близнецов также следует, что количество простых близнецов бесконечно.

Так как количество простых чисел, не являющихся близнецами бесконечно (см. стр. 60 - http://regiomontan.narod.ru/book/VZ_primes.pdf ), то количество квадратов таких чисел, также как и количество интервалов между последовательными квадратами таких чисел бесконечно. Так как на основании указанной выше гипотезы на каждом таком интервале находится хотя бы один простой близнец, то количество простых близнецов бесконечно.

Остается только доказать хотя бы одну из этих гипотез!

Одна из идей доказательства гипотез - через среднюю плотность близнецов в приведенной системе вычетов (ПСВ) по модулю $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_i$. В этом случае средняя плотность близнецов на ПСВ по модулю М умножается на длину интервала.
В случае строгой гипотезы длина интервала равна $((p_i+2)^2-(p_i)^2)=4(p_i+1)$. При малых значениях М получается результат больше реального. Например, при М=2310 количество близнецов на интервале от 121 до 169 равно 2,805 при фактическом числе -2. При больших значениях $M=2,0056049 \cdot 10^{11}$ количество близнецов на интервале от 961 до 1089 равно 0,7948 при фактическом числе -2.
Это связано с неравномерным распределением близнецов при больших М. В начале М ( в том числе на интервале от 961 до 1089) близнецы расположены ближе, а затем расстояние между ними увеличивается. Поэтому средняя плотность близнецов становится значительно меньше, чем на интервале от 961 до 1089 и данный метод использовать нельзя.

Отрицательный результат тоже результат, так как говорит, что не надо тратить время на данный путь доказательства!

[Cash]

vicvolf в сообщении #778064 писал(а):

Большая просьба. Если кто-нибудь встречал более сильную гипотезу в литературе, то дайте ссылку? Может кто-то может указать контрпример?

Контрпримера не дождетесь. Гипотеза практически наверняка верна. Можно еще с десяток накидать с теми же шансами на доказательство. Например, такое усиление: при $n>123$ найдется пара простых близнецов между $n^2$ и $(n+1)^2$.

[vicvolf]

Cash в сообщении #779748 писал(а):

Например, такое усиление: при $n>123$ найдется пара простых близнецов между $n^2$ и $(n+1)^2$.

Задумка как раз была в доказательстве наличия близнецов между квадратами последовательных простых чисел, так как:
1. На этом интервале ПСВ все близнецы являются простыми числами.
2. Именно этот интервал простых добавляется на каждом шаге при переходе от ПСВ по модулю $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_i$ к $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_{i+1}$.

[Руст]

vicvolf в сообщении #779946 писал(а):

Cash в сообщении #779748 писал(а):

Например, такое усиление: при $n>123$ найдется пара простых близнецов между $n^2$ и $(n+1)^2$.

Задумка как раз была в доказательстве наличия близнецов между квадратами последовательных простых чисел, так как:
1. На этом интервале ПСВ все близнецы являются простыми числами.
2. Именно этот интервал простых добавляется на каждом шаге при переходе от ПСВ по модулю $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_i$ к $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_{i+1}$.

Не имеет значения. Предложенная Cash гипотеза сильнее.
А с точки зрения разумности, лучше гипотеза о том, что в интервале $(x, x+C\ln^4 x)$ всегда имеется пара близнецов.
Разумность в том смысле, что средняя плотность близнецов ожидается (доказана оценка тольуо сверху) $\frac{C_1}{\ln^2x}$.
Соответственно разумнее предполагать как и для простых чисел, что максимальное расстояние между соседними парами близнецов не превосходит квадрата среднего расстояния с некоторым коэффициентом.
Из-за того, что при малых х (меньше 1000 000) величина $C\ln^4 x$ больше $2\sqrt x$ (расстояние между двумя соседними квадратами) гипотеза Cash
скорее не выполняется при малых $x$ или для $n<1000$ между $n^2$ и $(n+1)^2$ может не быть близнецов.

[Cash]

Руст в сообщении #779953 писал(а):

Из-за того, что при малых х (меньше 1000 000) величина $C\ln^4 x$ больше $2\sqrt x$ (расстояние между двумя соседними квадратами) гипотеза Cash
скорее не выполняется при малых $x$ или для $n<1000$ между $n^2$ и $(n+1)^2$ может не быть близнецов.

Ну я уж не совсем идиот. Проверил для всех $n<20000$. Последняя пара соседних квадратов между которыми нет простых близнецов - $[122^2, 123^2]$.

-- Пт окт 25, 2013 12:06:54 --

vicvolf в сообщении #779946 писал(а):

Задумка как раз была в доказательстве наличия близнецов между квадратами последовательных простых чисел, так как:
1. На этом интервале ПСВ все близнецы являются простыми числами.
2. Именно этот интервал простых добавляется на каждом шаге при переходе от ПСВ по модулю $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_i$ к $M=2 \cdot 3 \cdot...\cdot p_{i+1}$.

Даже если Вы просто докажете бесконечность пар-близнецов - Вам при жизни поставят памятник и надают еще кучу разных плюшек. Если думаете, что надо искать между квадратами простых - ищите, может и посрамите скептиков вроде меня.

[vicvolf]

Руст в сообщении #779953 писал(а):

Предложенная Cash гипотеза сильнее.

Я считаю более сильной гипотезой ту, из которой следует более слабая. Из гипотезы Cash о близнецах между квадратами соседних натуральных чисел не следуют мои гипотезы о близнецах между квадратами последовательных простых чисел.

Руст в сообщении #779953 писал(а):

А с точки зрения разумности, лучше гипотеза о том, что в интервале $(x, x+C\ln^4 x)$ всегда имеется пара близнецов.Соответственно разумнее предполагать как и для простых чисел, что максимальное расстояние между соседними парами близнецов не превосходит квадрата среднего расстояния с некоторым коэффициентом.

По сложности доказательства эта гипотеза сравнима с гипотезой Крамера.

Цитата:

Разумность в том смысле, что средняя плотность близнецов ожидается (доказана оценка тольуо сверху) $\frac{C_1}{\ln^2x}$.

Разумность гипотезы определяется с точки зрения возможности ее доказательства. Пока доказано только неравенство Бруна.