Формулировка гипотезы:
Между квадратами двух последовательных простых чисел находится, по крайнем мере, одна пара простых близнецов.
Для других простых кортежей это не выполняется. Например, на интервале
![$(11^2, 13^2)$ $(11^2, 13^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d4484ab328e096a78b4ad610de623e82.png)
отсутствует простой триплет
![$(p, p+2, p+6)$ $(p, p+2, p+6)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/d/f7dcffe6cae61683eed02a024abb3a8382.png)
.
Тем более для кортежей больших размеров. Например, кортеж
![$(p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16)$ $(p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/5/bd586210217ef3d776bb24dcea25a27582.png)
отсутствует на интервалах от
![$(11^2, 13^2)$ $(11^2, 13^2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d4484ab328e096a78b4ad610de623e82.png)
до
![$(109^2, 113^2)$ $(109^2, 113^2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/5/535150025e879cc38d6ee45d8149d91d82.png)
.
Однако, гипотеза Диксона утверждает, что количество простых кортежей
![$(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$ $(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeb9cd3b87ce7505f5c848c1a13fb11382.png)
бесконечно , если входящие в кортежи числа не образуют полную систему вычетов по любому простому модулю p меньше или равного k.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 0%BD%D0%B0
Если гипотеза Диксона справедлива, то для простых кортежей выполняется следующее утверждение.
Утверждение
В случае, если входящие в простой кортеж
![$(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$ $(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeb9cd3b87ce7505f5c848c1a13fb11382.png)
числа не образуют полную систему вычетов по любому простому модулю p меньше или равного k, то количество интервалов
![$(p^2_i, p^2_{i+1})$ $(p^2_i, p^2_{i+1})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/7/65740fd21894879f589978df10feddff82.png)
, на которых присутствует хотя бы один данный кортеж, бесконечно.
Доказательство
Предположим противное, что таких интервалов конечное число. Так как каждый интервал конечен, то количество простых кортежей
![$(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$ $(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeb9cd3b87ce7505f5c848c1a13fb11382.png)
на таком интервале конечно. Следовательно, общее количество простых кортежей
![$(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$ $(p,p+a_1,p+a_2,...p+a_k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeb9cd3b87ce7505f5c848c1a13fb11382.png)
, числа которого не образуют полную систему вычетов по любому простому модулю p меньше или равного k в натуральном ряде конечно, что противоречит гипотезе Диксона и доказывает данное утверждение.