Об одной гипотезе для простых чисел

[vicvolf]

На основании данных Таблицы 6 для y=150000 я получил значения вероятности и ее отклонение от $1/\ln(x)$:
При $x=10^8$ значение $1/\ln(x)=5,428\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=5,436 \cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,008 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,1476%.
При $x=10^9$ значение $1/\ln(x)=4,825\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=4,828\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,003 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,0621%.
При $x=10^{10}$ значение $1/\ln(x)=4,346\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=4,341\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,005 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,1152%.
При $x=10^{11}$ значение $1/\ln(x)=3,948\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=3,983\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,035 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,8787%.
При $x=10^{12}$ значение $1/\ln(x)=3,619\cdot 10^{-2}$, значение вероятности равно $\frac {\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x)} {y}=3,622\cdot 10^{-2}$, т.е. отклонение значения $1/\ln(x)$ от значения вероятности равно $0,003 \cdot 10^{-2}$ меньше 0,0828%.
Как видите, отклонения вероятности от $1/\ln(x)$ при больших х и $x \gg y$ незначительны, что соответствует тому, что в этом случае вероятность большого натурального числа х быть простым, равна $1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.

[Cash]

Это не доказательство. Это соображения, которые можно учитывать, но не факт, что это верно. Почитайте, например, про число Скьюза.

[vicvolf]

А причем тут число Скьюза. То что $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$ определяется значением постоянной C=1,32...., которая естественно не меняется.

[vicvolf]

Руст в сообщении #781316 писал(а):

Само наличие частоты простых доказывается не прибегая к вашим детским частотам не исключенных, которые могут играть роль частоты только в очень больших интервалах.

Вы называете это частотой появления простых, я называю это значением конечной вероятностной меры - дело вкуса!
При доказательстве гипотезы я рассматриваю большие $p_n$ - порядка $10^8$. В этом случае $x=p^2_n =10^{16}, a=0,5 \cdot 10^9$ и интервал очень большой.

Цитата:

Даже частотная характеристика при исключении по два вычета не является квадратом частоты, полученной при исключении по одному вычету (это как раз говорит о зависимости двух событий x-простое, x+2 - простое). Возникает коэффициент.

Согласен, в доказательстве гипотезы учитывается коэффициент С: $P(A_2/A_1)=C \cdot P(A_2)$.

[vicvolf]

По замечаниям Руста:

Руст в сообщении #781316 писал(а):

Поэтому можно говорить только о частоте появления простых в интервале $[x-a.x+a]$ (в окрестности х) и ввести частотную характеристику для данного интервала
$f(x,a)=\frac{\pi(x+a)-\pi(x-a)}{2a}$. Это частота сильно зависит от ширины интервала $2a$. Только когда ширина величина порядка $x$ доказано, что
$f(x,a)-\frac{1}{\ln x}(1+o(1)).$

внесу исправления в доказательство гипотезы.
Но сначала хочу сказать, что конечная вероятностная мера является общепринятым известным понятием, которое я использую.
Ранее было доказано, что плотность целочисленной строго возрастающей последовательности, к которой относится последовательность простых чисел f(n), на ограниченном интервале натурального ряда [A,B)- $P(f,A,B)=\pi(f,A,B)/(B-A)$, где $\pi(f,A,B)$ - количество членов последовательности f(n) на интервале [A,B), является значением конечной вроятностной меры - $P(A,B)$.
Поэтому частота появления простых на интервале $[x-a.x+a]$, о которой пишет Руст: $f(x,a)=\frac{\pi(x+a)-\pi(x-a)}{2a}$ является вероятностью натурального числа из данного интервала быть простым. Подробнее об этом написано в теме "Вероятность натурального числа быть простым" - topic75486.html
Теперь перейду к доказательству гипотезы.

Формулировка гипотезы:
На интервале $p^2,(p+2)^2$, где p-простое число, начиная с некоторого p, имеется хотя бы одна пара простых близнецов.

Доказательство
Итак при большом х и $y=\epsilon \cdot x$, где $0<\epsilon<1$ плотность последовательности простых чисел f(n) на интервале [x-y,x+y) равна:
$P(f,x-y,x+y)=\frac{\pi(f,2,x+y)-\pi(f,2,x-y)}{2y}=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.(1)
На основании вышесказанного (1) является вероятностью натурального числа из данного интервала быть простым. Если $x \gg y$ и х -большое, то $P(f,x-y,x+y)$ является вероятностью натурального числа порядка х быть простым. Подробнее в теме "Вероятность натурального числа быть простым" - topic75486.html
Обозначим вероятность события $A_1$, что большое натуральное число порядка х является простым $Pr(A_1)$, тогда можно записать:
$Pr(A_1)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.(2)
Обозначим вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым $Pr(A_2)$, тогда можно записать:
$Pr(A_2)=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$,(2) так как $x \gg 2$.
На основании (2), (3) вероятность события, что большие натуральные числа х и х+2 являются простыми (х,х+2-простые близнецы):
$Pr(A_1 \cdot A_2)=Pr(A_1) \cdot Pr(A_2/A_1)>Pr(A_1)Pr(A_2)=1/\ln^2(x)+o(1/\ln^2(x))$,(4) так как $Pr(A_2/A_1)>Pr(A_2)$ ($Pr(A_2/A_1)=C \cdot Pr(A_2)$, где C=1,32.... ).
Таким образом, для плотности последовательности простых близнецов g(n) на интервале [x-y,x+y) справедливо неравенство:
$P(g,x-y,x+y)>1/\ln^2(x)$,(5)
а для количества простых близнецов на интервале [x-y,x+y) справедливо соотношение:
$\pi(g,x-y,x+y)>y/\ln^2(x)$.(6)
В случае, если $x=p^2+2p, \epsilon= 2p/(p^2+2p), y=\epsilon \cdot x=2p$, где р - простое число, на основании (6) получаем:
$\pi(g,x-y,x+y)>2p/\ln^2(p^2+2p)>1$ при p>17. (7)
Пусть порядок числа p - $3,75\cdot 10^4$, тогда $x=p^2+2p=1,40625 \cdot 10^8+7,5 \cdot 10^4=1,407 \cdot 10^8$.
В этом случае интервал [x-y,x+y) будет [$1,40625 \cdot 10^8, 1,40625 \cdot 10^8+1,5 \cdot 10^5$).
Известно, что на интервале [$10^9, 10^9+1,5 \cdot 10^5$) будет 7242 простых близнеца.
Поэтому на интервале [$1,40625 \cdot 10^8, 1,40625 \cdot 10^8+1,5 \cdot 10^5$) будет больше 7242 простых близнецов.
Так как неравенство (7) справедливо при p>17, то тем более оно будет справедливо при p порядка $3,75\cdot 10^4$ и более.
Таким образом, гипотеза доказана, начиная с p порядка $3,75\cdot 10^4$.

Руст писал, что достаточно показать выполнение гипотезы на интервале $y=\ln^3(x+1)$.
В нашем случае $x=1,407 \cdot 10^8$, поэтому $y=\ln^3(1,407 \cdot 10^8+1)=6604,6$, а интервал $1,5 \cdot 10^5$ значительно больше.

[shwedka]

Цитата:

Если $x \gg y$ и х -большое, то $P(f,x-y,x+y)$ является вероятностью натурального числа порядка х быть простым.

Это утверждение не доказано,
более того, оно не имеет смысла, поскольку
математическое понятие

Цитата:

вероятность натурального числа порядка х быть простым

Не определено.

Определено лишь понятие

вероятность числа, случайно взятого на интервале $(x-y,x+y)$, быть простым.
От $y$ эта величина зависит, и эта зависимость никуда не денется, даже если Вы ее в обозначениях и опускаете.

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым

не определено,
в отличие от вероятности числа, случайно взятого из интервала, быть простым.

Никаких разговоров про

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым

быть не может, пока не определено вероятностное пространство.

То, что Вы называете какие-то величины вероятностями,
не дает Вам права применять к ним вероятностные формулы.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #788405 писал(а):

Цитата:

Если $x \gg y$ и х -большое, то $P(f,x-y,x+y)$ является вероятностью натурального числа порядка х быть простым.

Это утверждение не доказано,
более того, оно не имеет смысла, поскольку
математическое понятие

Цитата:

вероятность натурального числа порядка х быть простым

Не определено.
Определено лишь понятие
вероятность числа, случайно взятого на интервале $(x-y,x+y)$, быть простым.
От $y$ эта величина зависит, и эта зависимость никуда не денется, даже если Вы ее в обозначениях и опускаете.

Когда я говорю о вероятности большого натурального числа порядка х быть простым - $Pr(A_1)$, то имею в виду вероятность, что натуральное число из интервала [$x(1-\epsilon), x(1+\epsilon)$) принадлежит последовательности простых чисел f(n), где $0<\epsilon<1$.
Поэтому справедливо - $Pr(A_1)=P(f,x(1-\epsilon), x(1+\epsilon))=1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$.
$Pr(A_1)$ является значением конечной вероятностной меры на интервале [$x(1-\epsilon), x(1+\epsilon)$) - $P(x(1-\epsilon), x(1+\epsilon))$.

Цитата:

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым

не определено,
в отличие от вероятности числа, случайно взятого из интервала, быть простым.
Никаких разговоров про

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2 является простым

быть не может, пока не определено вероятностное пространство.

Так как х большое натуральное число, то $x \gg 2$. Поэтому натуральное число порядка х+2 также принадлежит интервалу [$x(1-\epsilon), x(1+\epsilon)$), а следовательно $Pr(A_2)$ является также значением конечной вероятностной меры - $P(x(1-\epsilon), x(1+\epsilon))$.

Цитата:

То, что Вы называете какие-то величины вероятностями,
не дает Вам права применять к ним вероятностные формулы.

Так как $Pr(A_1),Pr(A_2)$ являются значениями одной конечной вероятностной меры $P(x(1-\epsilon), x(1+\epsilon))$, то можно применять к ним вероятностные формулы конечной вероятностной меры, т.е за исключением суммы бесконечного числа событий.

[shwedka]

Цитата:

Поэтому натуральное число порядка х+2...

Вы это специально изменили, или случайно?
Ведь было совсем другое:

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2...

Так как же должно быть?

[vicvolf]

shwedka в сообщении #788582 писал(а):

Цитата:

Поэтому натуральное число порядка х+2...

Вы это специально изменили, или случайно?
Ведь было совсем другое:

Цитата:

вероятность события $A_2$, что большое натуральное число х+2...

Так как же должно быть?

Даже, если я не пишу слово "порядка", то оно всегда подразумевается, так как всегда имеется в виду интервал.
Запись "вероятность конкретного натурального числа быть простым" имеет тривиальный смысл. Если число известно, то вероятность его быть простым равна 0 или 1, поэтому в данном смысле здесь не используется.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #788878 писал(а):

Даже, если я не пишу слово "порядка", то оно всегда подразумевается, так как всегда имеется в виду интервал.

A Вы пишите! Все время!

Тогда себя же не запутаете.

Едем дальше:

Цитата:

На основании (2), (3) вероятность события, что большие натуральные числа х и х+2 являются простыми (х,х+2-простые близнецы):

Вставляем 'порядка', как Вы хотите

Цитата:

На основании (2), (3) вероятность события, что большие натуральные числа порядка х и порядка х+2 являются простыми (х,х+2-простые близнецы)....

И теперь объясните, откуда взялось утверждение в скобках.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #788895 писал(а):

Цитата:

На основании (2), (3) вероятность события, что большие натуральные числа порядка х и порядка х+2 являются простыми (х,х+2-простые близнецы)....

И теперь объясните, откуда взялось утверждение в скобках.

Вы правы. Действительно это справедливо не только для близнецов. Все пары больших натуральных чисел вида: $x,x+2;x,x+4;...x+2(n-1),x+2n;x,x-2;x,x-4;...x-2(n-1),x-2n$, где $2n<\epsilon \cdot x$, принадлежат одному интервалу $(1-\epsilon) \cdot x, (1+\epsilon) \cdot x$ и их вероятности быть простыми, в том числе близнецов, являются значениями одной вероятностной меры $P((1-\epsilon) \cdot x, (1+\epsilon) \cdot x)$. Поэтому между ними возможны операции ограниченной вероятностной меры.

[shwedka]

Цитата:

и их вероятности быть простыми, в том числе близнецов, являются значениями одной вероятностной меры

Это утверждение не доказано.

Почему эта мера, вероятность пары на интервале быть простой, описывается вероятностной мерой.
Например, если вероятность простых пар на интервале равна нулю, какая мера здесь вероятностная?

Цитата:

Поэтому между ними возможны операции ограниченной вероятностной меры

.
Понятие операции ограниченной вероятностной меры
не определено

[vicvolf]

shwedka в сообщении #789300 писал(а):

Цитата:

и их вероятности быть простыми, в том числе близнецов, являются значениями одной вероятностной меры

Это утверждение не доказано.
Почему эта мера, вероятность пары на интервале быть простой, описывается вероятностной мерой.
Например, если вероятность простых пар на интервале равна нулю, какая мера здесь вероятностная?

Нет я имел в виду, что вероятность каждого по отдельности большого натурального числа из пары быть простым является значением конечной вероятностной меры.

Цитата:

Цитата:

Поэтому между ними возможны операции ограниченной вероятностной меры

.
Понятие операции ограниченной вероятностной меры
не определено

Имеются в виду вероятностные формулы конечной вероятностной меры, за исключением суммы бесконечного числа событий и применяю я их к вероятностям отдельных натуральных чисел быть простыми.

[shwedka]

Цитата:

Имеются в виду вероятностные формулы конечной вероятностной меры

Ой, а просветите, плиз, а есть ли вероятностные меры, кроме конечных!

[vicvolf]

shwedka в сообщении #789347 писал(а):

Ой, а просветите, плиз, а есть ли вероятностные меры, кроме конечных!

Постараюсь ответить на Ваш экзаменационный вопрос
Кроме вероятностной меры на конечном пространстве событий, для которой выполняется свойство конечной аддитивности и к которой относится рассматриваемая плотность последовательности на конечном интервале натурального ряда, существует вероятностная мера на бесконечном пространстве событий, для которой выполняется свойство счетной аддитивности.