разложение в ряд фурье по синусам

[milenni]

Мне нужно разложить по синусам функцию $\cos \frac x 2$ на периоде $ (-\pi; 0)$. Я знаю формулу разложения на полупериоде, подходит ли она в моем случае?

$b_n = \frac1\pi\int{ \cos(\frac x 2) \sin(nt) dt }$
меня смущает то, что фактически у меня на отрезке $ (-\pi; 0)$ не полупериод, а четверть периода..

пределы интегрирования $ (-\pi; 0)$

Otta , формула для полупериода которую я брала $b_n = \frac1 L \int{ f(x) \sin( \frac {\pi n x} {L}) dx }$ , в качестве L взяла $ \pi$

в некоторых источниках в интернете видела подобную формулу, но с коэффициентом $ \frac 2 L $

[Otta]

milenni в сообщении #777411 писал(а):

Я знаю формулу разложения

А напишите, пожалуйста, какую формулу Вы знаете. А то Ваша непонятно откуда произросла.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

milenni
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[provincialka]

Чтобы разложение получилось по синусам (то есть по $\sin kx$), нужно одно из двух.

1. Функция нечетна на $(-\pi; \pi)$
2. Функция задана на половине этого промежутка, тогда на вторую ее можно продолжитьь нечетным образом.

У вас как?

[milenni]

provincialka, никак ! это же косинус, растянутый вдоль икс. на промежутке , который вы указали, функция естественно четная.
а насчет второго вашего условия, моя функция , как я писала, задана на промежутке $ \ ( - \pi; 0 ) $ $ .

[provincialka]

milenni в сообщении #777554 писал(а):

provincialka, никак ! это же косинус, растянутый вдоль икс. на промежутке , который вы указали, функция естественно четная.
а насчет второго вашего условия, моя функция , как я писала, задана на промежутке $ \ ( - \pi; 0 ) $$ .

Функция, заданная на другом промежутке - другая функция. То есть $\cos \frac {x}{2}, x\in \mathbb R$ и $\cos \frac{x}{2}, x\in (-\pi,0)$ - разные функции. Вторая не может быть четной или нечетной, она задана на несимметричном промежутке.

[milenni]

provincialka, так получается чтобы разложить мою функцию по синусам, мне надо продолжить ее до $ \pi$ нечетным образом, и найти разложение на промежутке $ (-\pi;0) $ ? верна ли формула, которую я написала выше?

и еще, если потом найти сумму ряда, то получится только часть $ \cos( \frac x 2 ) $ на $ (-\pi;0) $ ?

[provincialka]

Можно не продолжать, она сама продолжится. Просто возьмите интеграл (самый первый) от $-\pi$ до $0$ и умножьте результат на 2.

[Otta]

milenni в сообщении #777572 писал(а):

верна ли формула, которую я написала выше?

Нет, это формула для разложения по полному периоду, и то если отнестись к ней правильно.
Перед интегралом должен быть коэфф-т $2/\pi$.
А provincialka рассказывает Вам, почему так, чтобы Вы не путались в формулах. (Я тоже эти формулы не люблю помнить, а предпочитаю помнить, откуда они берутся).

milenni в сообщении #777572 писал(а):

так получается чтобы разложить мою функцию по синусам, мне надо продолжить ее до $ \pi$ нечетным образом, и найти разложение на промежутке $ (-\pi;0) $ ?

Да, и получите тот же результат, что и при "тупом" использовании формулы.

milenni в сообщении #777572 писал(а):

и еще, если потом найти сумму ряда, то получится только часть $ \cos( \frac x 2 ) $ на $ (-\pi;0) $ ?

А вот об этом поподробнее пожалста. Что значит "часть"?

[milenni]

я имела ввиду, что если нарисовать график для большого коэффициента к, то график будет выглядеть, как кусочек косинуса на заданном интервале, а не косинус на все действительной оси)
итак, чтобы разложить по синусам $ f = \cos ( \frac x 2) $ на промежутке $ ( -\pi; 0) $ я считаю интеграл $ b_n = \frac 2 \pi \int {\cos(\frac x 2) \sin (n x ) dx }$ ?

у меня вышло $b_n = \frac {-2 k} { \pi (k^2-0.25)}$ , это нормальный ответ? [size=50](в примерах, которые я решала до этого, в конце всегда оставался один член, а все другие коэффициенты ряда были равны нулю.)[/size]

[Otta]

milenni в сообщении #777612 писал(а):

у меня вышло $b_n = \frac {-2 k} { \pi (k^2-0.25)}$ , это нормальный ответ?

Нормальный, только где-то постоянный множитель потерялся.

milenni в сообщении #777612 писал(а):

что если нарисовать график для большого коэффициента к, то график будет выглядеть, как кусочек косинуса на заданном интервале, а не косинус на все действительной оси

График для коэфф-та - это как? Коэффициент - штука постоянная, только от $k$ зависит.
Строят обычно график суммы р.Ф. (если Вас его спрашивают), он определен на всей вещественной оси.

[milenni]

постоянный множитель??


чем больше будет n , тем ближе будет график к исходной функции, так как там $ \sum $ от 1 до n
а выглядеть график будет как куски косинуса на промежутке $ -\pi;0 $ ? (или как обычный красивый косинус?)

[Otta]

milenni в сообщении #777628 писал(а):

постоянный множитель??

Да, знаете, бывают такие, перед интегралами, например. Очень любят теряться. У кого от неудачного переписывания, у кого - от неудачного интегрирования. В Вашем случае, похоже, второе.
Если не затруднит, посчитайте первообразную от $x\cos(x/2)$ и скажите ответ.

milenni в сообщении #777628 писал(а):

а выглядеть график

Еще раз - график чего?

[milenni]

график суммы ряда фурье.

вроде бы нормально посчитала интеграл(

ваш интеграл считается по частям, получится вроде $ 2 x \sin {\frac x 2} + 4 \cos{ \frac x 2} $

[Otta]

Ага.

milenni в сообщении #777654 писал(а):

вроде бы нормально посчитала интеграл(

Хорошо. Ну и куда и при каких условиях сходится ряд Фурье, вспоминайте.