Дифф.уравнения. Особые решения.

[TamaGOch]

Не могу разобраться, что такое особое решение.
В учебнике нашёл: Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения $\frac {dy}{dx} = f (x, y)$ непрерывна относительно x, y и имеет частную производную по y, то особым решением могут быть только кривые $y = \varphi (x)$ , во всех точках которых $\frac {\partial f}{\partial y}$обращается в бесконечность.

на следующем примере, подскажите пожалуйста, есть ли особые решения?

$\frac {dy}{dx} = \frac {y-x-1}{2x-2y}$

частная производная $\frac {\partial f}{\partial y} = -\frac{2}{(2x-2y)^2}$

можно ли считать за особое решение прямую $y = x$ ?

[provincialka]

Это вообще не решение, если уравнение задано именно в таком виде. На 0 делить нельзя.

[TamaGOch]

ну если подогнать под это определение, то я бы сказал, что не удовлетворяет условию: непрерывна относительно x, y, если можно конечно
provincialka, спасибо!

[korolev]

Решение обычное:

$y=x+\frac 13+\frac 13 W \left (-e^{\frac 92 x+c_1 \right )}$

[provincialka]

korolev, а это зачем? Во первых, человек не спрашивал об обычных. Во вторых, публикация готовых решений запрещена правилами форума.

[korolev]

provincialka в сообщении #776323 писал(а):

публикация готовых решений запрещена правилами форума.

Ага, правилами форума разрешено писать глупости типа "Дважды два - не всегда пять".

[TamaGOch]

korolev, не правы

[provincialka]

korolev в сообщении #776326 писал(а):

Ага, правилами форума разрешено писать глупости типа "Дважды два - не всегда пять".

Разрешено. Нигде нет ограничений на подписи участников.
а) это юмор и б) это высказывание верно. Что из этого делает высказывание "глупостью"?
И вообще, метод ответа "сам дурак" не пристал мыслящему человеку.

[iifat]

Вот, например, вроде, достаточно подробно. Про ваше

TamaGOch в сообщении #776299 писал(а):

$\frac {\partial f}{\partial y}$обращается в бесконечность

ни слова.

[Someone]

TamaGOch, попробуйте рассмотреть уравнение $y'=2\sqrt{y}$.

[iifat]

iifat в сообщении #776371 писал(а):

Про ваше "обращается в бесконечность" ни слова.

Вру. При ограниченной производной решение в каждой точке единственно. Так что обращение в бесконечность — необходимое условие. Однако, как вы показали, отнюдь не достаточное.