Негармонические колебания

[bastak]

Здравствуйте. Хотел попросить у вас помощи по одному вопросу.
Допустим, у нас есть два упругих тела(шара), сила притяжения между которыми обратно пропорциональна какой-то степени расстояния между ними(аналог таких колебаний будет столкновение идеальных планет )
Они у нас соприкасаются и один закреплен. Незакрепленному шару мы придаем скорость $V$ меньше критической(чтобы он вообще не улетел на бесконечность). Он отрывается, летит обратно, упруго стукается, опять и т.д. Вопрос в том, чтобы найти период колебаний.
Запишем уравнение колебаний:$ md^2x/dt^2=-K/(2R+x)^n$
где $x$ - расстояние между шарами, $n$- наша степень(для гравитации =2), $R$ - радиус шаров, $K$ - постоянная, зависящая от параметров системы. Но дальше я в смятении, как найти время между отскоками. Скорее всего, чтобы это было вообще решаемо, нужно, чтобы $x<<2R$, тогда мы можем упростить знаменатель. НО как решать дальше, подскажите пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

bastak в сообщении #774527 писал(а):

Запишем уравнение колебаний:$ md^2x/dt^2=-K/(2R+x)^n$

домножьте левую и правую часть на $\dot x$ -- получите интеграл энергии.
Валить в одну кучу столкновения и дифференциальное уравнение не надо

[Neos]

Запишите закон сохранения энергии для Вашего случая. ДУ получится
на порядок меньше, и переменные разделятся. Дальше - что покажет решение.

[Toucan]

bastak, устное замечание за дублирование темы. Дубль удален.

[bastak]

Oleg, я не совсем вас понял. Можете подробнее сказать, что вы имели в виду? Я не смешиваю столкновение и ДУ, я пишу ДУ в начальный момент, когда мы мгновенно придали скорость шару.
Если я пользуюсь малостью x, то после преобразований получается, что $mx''=\frac{Kn}{(2R)^{n+1}}x-\frac{K}{(2R)^n}$
Т.е. при решении этого уравнения вроде бы должна получиться отрицательная экспонента с отрицательной степенью. И тут непонятно, что дальше, ведь если мы решаем гармонические колебания, то там получается косинус/синус, мы можем найти, когда достигается максимум отклонения и, соответственно, характерное время. а у такой отр. экспоненты максимума нет. Точнее, он есть, но достигается на бесконечном времени, т.е. какой-то абсурд... Я застопорился на этом.

[Oleg Zubelevich]

Интеграл энергии:

$$\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{c}{(2R+x)^{n-1}}=h,\quad n\ne 1,\quad c=K/(n-1)$$

[bastak]

ЗСЭ:
$\frac {m\dot{x}^2} 2 -\frac K {(n-1)(x_0+x)^{n-1}}=C_0$
используя малость x(иначе полная труба):
$\frac {m\dot{x}^2} 2 -\frac K {(n-1)x_0^{n-1}}+\frac {Kx} {x_0^n}=C_0$
Т.е. $\dot{x}^2=A-Bx$ где $A=\frac {2K} {(n-1)x_0^{n-1}m}+\frac {2C_0} m$
Интегрируя, получим $x(t)=tV_0-\frac B 4 t^2$ где $\dot{x}(0)=V_0$

Насколько я понял, мое допущение привело к тому, что т.к. отклонение мало, то сила приблизительно остается постоянной, и поэтому у меня решение аналогично падению шарика на упругую плиту(mg - const). Меня это не устроило, т.к. тогда получается слишком грубое приближение.
Я предположил, что сила при данных небольших отклонениях прямо пропорционально смещению(с обратным знаком). Пусть $F=\alpha-\beta x$ Тогда напишем ЗСЭ:
$\frac {m\dot{x}^2} 2-\frac \beta 2 (\frac \alpha \beta-x)^2=C_0$
Mathematica при решении уравнения дала 4 корня. Вот один из них:
$x_1(t)=-e^{-\sqrt{B}t}(1+e^{\sqrt{B}t})(k_1+k_2e^{\sqrt{B}t})$ где $k_1$ и $k_2$ - коэффициенты, зависящие от параметров системы. Остальные решения аналогичны, меняются только знаки при коэффициентах.

Проблема в том, что получившаяся функция непереодическая. Я не знаю, что делать дальше, т.к. при периодической функции дальше все было бы элементарно.

[bastak]

что можно сделать дальше?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
вернул

[EvgenyGR]

А на фига решать дифур, если нужно просто время между отскоками?

[ewert]

EvgenyGR в сообщении #775915 писал(а):

А на фига решать дифур, если нужно просто время между отскоками?

Фиг в том, что для нахождения времени придётся посчитать некий интеграл, который получается именно из дифура (и который, кстати, в элементарных функциях, как правило, не берётся).

[EvgenyGR]

ewert в сообщении #776101 писал(а):

Фиг в том, что для нахождения времени придётся посчитать некий интеграл, который получается именно из дифура (и который, кстати, в элементарных функциях, как правило, не берётся).

У Вас есть общая энергия связывающая скорость и координату. Т.е. можете выразить скорость через координату. У Вас есть пределы изменения координаты. Приращение координаты деленое на скорость, есть приращение времени. Интегрируйте это отношение в пределах изменения координаты по координате, получите пол периода.

[ewert]

EvgenyGR в сообщении #776222 писал(а):

Интегрируйте это отношение

Это ровно и есть решение дифура (ну там с точностью до ньюанецов).