2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Частный случай утверждения Оппермана
Сообщение10.04.2007, 10:48 


24/01/07

402
В 1882 году Опперман утверждал что \[
\pi \left( {n^2  + n} \right) > \pi \left( {n^2 } \right) > \pi (n^2  - n)
\] для n>1
Попробуем доказать это утверждение для \[
n^2 = p_n^2 
\] где p - простое число
Частный случай утверждения Оппермана
\[
\pi (p_n^2  + p_n ) > \pi (p_n^2 ) > \pi (p_n^2  - p_n )
\]
Используя общую формулу для определения количества простых чисел

Имеем:

\[
\begin{gathered}
  \pi (p_n^2  + p_n ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty  {\left[ {(p_n^2  - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]}  + p_n  \cdot \tfrac{{(p_n  - 1)!}}
{{p_n !}} \hfill \\
  \pi (p_n^2 ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty  {\left[ {(p_n^2  - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]}  \hfill \\
  \pi (p_n^2  - p_n ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty  {\left[ {(p_n^2  - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}}
{{(p_{n - 1} )!}}} \right]}  - p_n  \cdot \tfrac{{(p_n  - 1)!}}
{{p_n !}} \hfill \\
  \pi (p_n^2  + p_n ) - \pi (p_n^2 ) = p_n  \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}}
{{p_n !}} \hfill \\
  \pi (p_n^2 ) - \pi (p_n^2  - p_n ) = p_n  \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}}
{{p_n !}} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Утверждение Оппермана равносильно утверждению, что на интервале \[
(0,P_n^2 )
\] нет непрерывной цепочки из составных чисел длиной больше чем \[
p_n 
\] число.
Что бы доказать это равносильное утверждение вернёмся к первоначальной формуле с помощью которой находим количество простых чисел с максимальной погрешностью 12% что доказали участники форума Руст RIP Артамонов \[
n \cdot m_p 
\]
То есть формула \[
p_n  \cdot \tfrac{{(p_n  - 1)!}}
{{p_n !}}
\] должна как минимум давать одно простое число. Иначе погрешность будет 100%. Что повидимому невозможно? Так что если да - то из этого следует утверждение Оппермана для \[
n = p_n^2 
\] доказано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.08.2007, 12:00 


24/01/07

402
Артамонов писал
Цитата:
Формула, с которой мы сравниваем - правильная не в том смысле, что она дает точное значение, а в том, что в пределе она отличается от истинного практически на константу, ваша же формула в пределе врет на множитель >1.
До какого-то момента было интересно, но сейчас все это, по-моему, переливание из пустого в порожнее и искусственное поднятие темы.

Тема которая вас не заинтересовала "Частный случай утверждения Оппермана" показывает, что и в таком немного изменённом виде формула работает. Более того есть элементарный метод с помощью которого можно уменьшить величину погрешности. Если бы вы согласились учавствовать. Нужно посчитать на сколько процентов улучшится результат с новыми параметрами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.08.2007, 13:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Всё, что написали - полная чушь. Главная ошибка в том, что из соотношения $\pi(x)=f(x)+R(x),\pi(y)=f(y)+R(y)$ получается $\pi(x)-\pi(y)=f(x)-f(y)+R(x)-R(y)\not =f(x)-f(y)+R(x-y).$ При этом поправка R(x)-R(y) может оказаться больше основного члена f(x)-f(y).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 12:19 


24/01/07

402
Руст, ваш довод "поправка может оказаться больше основного члена" ничего не стоит, так как могу заявить, что не может, и вы не докажете обратное. Но сомнения ваши правильны, думаю, не скоро конечно, мне будет что вам сказать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 12:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Апис писал(а):
Руст, ваш довод "поправка может оказаться больше основного члена" ничего не стоит, так как могу заявить, что не может, и вы не докажете обратное


А Руст ничего и не должен доказывать. Это же Ваше утверждение, а не его. Он лишь утверждает, что та аргументация, которой Вы пользуетесь, не является доказательством, и объясняет, почему. А строго доказать - это Ваша забота.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 13:47 


24/01/07

402
Извините, но я Русту ничего и не предлагал доказывать, потому что он не докажет. А с его сомнениями я согласился, что вас не устраивает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2007, 13:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Да нет, ничего, все нормально.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

Просто я отметил, что Руст указал на ошибочный момент в Ваших рассуждениях, а уже что с этим делать - решайте сами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2007, 16:05 


24/01/07

402
Это сообщение продолжение темы: «Количество простых чисел на интервале (р-п)», но тема закрыта. Можно было разместить в теме: «Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами простых чисел», но и эта тема недоступна, на карантине – неверное цитирование. Цитату я заменил полностью, но тема остаётся недоступной. Так что не будет большой беды, если я сообщение размещу в этой теме, тем более все темы взаимосвязаны. Кому будет трудно понять, о чём дискуссия, тот может предварительно посмотреть тему: «Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами простых чисел», там всего страница информации, или посмотреть тему «Количество простых чисел на интервале (р-п)», там информации больше. И так:
Формула для определения количество простых чисел \[
\pi (n) = n \cdot m_{p_k } 
\] на интервале\[
(p_{k,} n)
\] признана не достойной внимания. «Артамонов писал: Формула, с которой мы сравниваем - правильная не в том смысле, что она дает точное значение, а в том, что в пределе она отличается от истинного практически на константу, ваша же формула в пределе врет на множитель >1.
До какого-то момента было интересно, но сейчас все это, по-моему, переливание из пустого в порожнее и искусственное поднятие темы.»
Ваши заявления сомнительны.
Вернёмся к формуле \[
\pi (n) = n \cdot m_{p_k } 
\] При постоянном (n) значение \[
m_{p_k } 
\] изменяется от p=2 до p=k+1 при этом результат \[
n \cdot m_{p_k } 
\] изменяется от большего к меньшему проходя так называемую точку ноль, это когда до точки ноль результат вычисления больше истинного значения количества простых чисел на интервале \[
(p_{k,} n)
\]), а после точки ноль, меньше.
Для наглядности приведу пример, при n=168

\[
\begin{gathered}
  {\text{p\_\_\_\_m}}_{\text{p}} \_\_\_\_\_\_\_\_n \cdot m_p \_\_\_\_\_\_\pi (n) \hfill \\
  2\_\_\_\_0.5\_\_\_\_\_\_\_\_84.5\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  3\_\_\_\_0.3333\_\_\_\_\_\_56.32\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  5\_\_\_\_0.2666\_\_\_\_\_\_45.05\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  7\_\_\_\_0.2285\_\_\_\_\_\_38.61\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  11\_\_\_0.2077\_\_\_\_\_\_35.10*\_\_\_\_\_\_34* \hfill \\
  13\_\_\_0.1918\_\_\_\_\_\_32.41*\_\_\_\_\_\_34* \hfill \\
  17\_\_\_0.1805\_\_\_\_\_\_30.50\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  19\_\_\_0.1710\_\_\_\_\_\_28.89\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\
  23\_\_\_0.1635\_\_\_\_\_\_27.63\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Вот вам пример существования так называемой точки ноль, когда до точки ноль результат вычисления больше истинного значения количества простых чисел на интервале \[
(p_{k,} n)
\] а после точки ноль, меньше. И точка ноль не имеет тенденцию к постоянному сползанию по значениям \[
m_{p_k } 
\] относительно значения \[
n \cdot m_{p_k } 
\] Тогда как:
Сам факт существования точки ноль говорит о том, что при простой сменой значения mp на один шаг, можно сократить (результат) погрешность на \[
\frac{{100}}
{{p_{k + 1} }}\% 
\] Но что бы добиться сокращения результата на 12%, потребуется спуск по значениям \[
m_{p_k } 
\] на всё большее количество шагов, при увеличении числа (n).
Вот здесь и кроется неуловимая неправильность в ваших рассуждениях о процентах погрешности. Смотрите, что бы уложится в 12% изменения значения \[
m_{p_k } 
\] количество шагов при переходе по значениям mp, при больших числах, будет расти до бесконечности. При этом сам результат будет стремиться к нулю. Но при этом стремлении к нулю, результат, когда ни будь должен же перейти точку ноль. А точка ноль не имеет тенденции к постоянному сползанию по значениям \[
m_{p_k } 
\] Явное несоответствие. Это предварительное замечание, более конкретно поговорим об этом через некоторое время.
Что касается константы и множителя <1 на который в пределе врёт моя формула. Мне трудно судить о правильности ваших выводов, так как: Насколько я понимаю, вы сравнили мою формулу с другой формулой и у вас имеются расчёты, по которым выходит, что максимальная погрешность 12%, да к тому же моя формула врёт в пределе на множитель >1. Но почему вы не привели эти расчёты, думаю, имея их на руках не трудно составить сообщение на форум. Так же попутно объясните мне такой нюанс, количество простых чисел в моей работе определяется на интервале \[
(p_{k,} n)
\] ), а формулы что приведены в таблице, определяют количество простых чисел на интервале (0,х) как вы при сравнении обходите такое различие. Мне просто интересно и полезно знать. Хотя если вы представите расчёты я и так всё пойму. Посмотрев предыдущие темы, я даже не понял, кто автор этих расчётов. Согласитесь, это неестественно, что я могу возразить на ваше замечание, когда непонятно, что и откуда взялось.
Из доказательства существования точки ноль, ничего нельзя сказать о конкретном количестве простых чисел. Приведу такой пример: Риман и Гаусс считали, что \[
Li(x) > \pi (x)
\] для любых x>1. Хотя при теперешнем состоянии таблиц это подтверждается, Литтлвуд в 1914 году доказал, что разность \[
Li(x) - \pi (x)
\] меняет знак бесконечно много раз. И что, из этого доказательства можно сделать какие-то выводы о конкретном количестве простых чисел за пределами таблиц. Да к тому же эти результаты связаны с функцией \[
\pi (x)
\] и её сопоставлениями с другими функциями,

\[
\begin{gathered}
  {\text{x\_\_\_\_\_[}}\frac{{\text{x}}}
{{{\text{log(x)}}}}] - \pi (x)\_\_\_\_\_[Li(x)] - \pi (x)\_\_\_\_[R(x)] - \pi (x)\_\_\_\_\pi (x){\text{ }} \hfill \\
  {\text{10}}^{\text{8}} \_\_\_ - 332774\_\_\_\_\_\_\_\_\_7054\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_97\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_5761455 \hfill \\
  {\text{10}}^{\text{9}} \_\_\_ - 2592592\_\_\_\_\_\_\_\_1701\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ - 79\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_50847534 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{10}}} \_\_\_ - 20758030\_\_\_\_\_\_\_3104\_\_\_\_\_\_\_\_\_ - 1828\_\_\_\_\_\_\_\_\_455052511 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{11}}} \_\_\_ - 169923160\_\_\_\_\_\_11588\_\_\_\_\_\_\_\_ - 2318\_\_\_\_\_\_\_\_\_4118054813 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{12}}} \_\_\_ - 1416706193\_\_\_\_\_38263\_\_\_\_\_\_\_\_ - 1476\_\_\_\_\_\_\_\_\_37607912018 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{13}}} \_\_\_ - 11992858452\_\_\_\_108971\_\_\_\_\_\_\_\_5773\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_346065536839 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{14}}} \_\_\_ - 10288308636\_\_\_\_314890\_\_\_\_\_\_\_ - 192000\_\_\_\_\_\_\_3204941750802 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{15}}} \_\_\_ - 891604962453\_\_\_1052619\_\_\_\_\_\_\_73218\_\_\_\_\_\_\_\_\_29844570422669 \hfill \\
  {\text{10}}^{{\text{16}}} \_\_\_ - 7804289844393\_\_3214632\_\_\_\_\_\_\_327052\_\_\_\_\_\_\_\_279238341033925 \hfill \\
  {\text{2}} \cdot {\text{10}}^{{\text{15}}} \_ - 15020437343198\_\_3776488\_\_\_\_\_ - 225875\_\_\_\_\_\_\_\_547863431950008 \hfill \\
  {\text{4}} \cdot {\text{10}}^{{\text{16}}} \_ - 289299005779950\_\_5538861\_\_\_\_\_ - 10980\_\_\_\_\_\_\_1075292778753150 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

для моей же формулы нет нужды сопоставлять её с другими функциями, у неё внутренняя достаточность и проверка на правильность проистекает не из прямых подсчётов и дальнейшего сравнения, а из внутреннего совершенствования результатов взаимосвязей.
Вы заметили, что я не пользуюсь такими математическими определениями как «полная чушь» и тому подобное. Руст, я хочу попросить вас, что бы вы умерили свою экспрессивность, мы же на форуме.
И последнее, кто ни будь из активных участников, представит обоснованные замечания по общей формуле для определения количества простых чисел на интервале (0,n).

\[
\begin{gathered}
  \pi (n) = \sum\limits_{k = 3}^\infty  {[(p_k^2  - p_{k - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{k - 1}  - 1)\# }}
{{(p_{k - 1} )\# }}} ] + (n - p_k^2 ) \cdot \frac{{(p_k  - 1)\# }}
{{p_k \# }} \hfill \\
  p_{k - 1}^2  \leqslant n < p_k^2  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2007, 16:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
 !  PAV:
Апис

Вам замечание за размещение темы в постороннем разделе. Обращаю внимание, что вторая тема, о которой Вы пишете, уже давно как не в карантине, она открыта, поэтому в ней можно размещать, что Вам угодно. Что же касается до первой темы - если хотите ее разблокировать, напишите об этом модератору. А так "тема закрыта, поэтому напишу в другом месте" у нас не делается.

Строгое замечание не делаю, учитывая, что Вы сами указали на то, что тему можно было разместить в другом месте. Пожалуйста, определитесь, где Вы хотите ее видеть, и не надо превращать форум в лабиринт. Если это еще повторится (включая введение пользователей в заблюждение относительно закрытых тем), то в следующий раз последуют более жесткие санкции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group