Частный случай утверждения Оппермана

[Апис]

В 1882 году Опперман утверждал что

\[ \pi \left( {n^2 + n} \right) > \pi \left( {n^2 } \right) > \pi (n^2 - n) \]

для n>1
Попробуем доказать это утверждение для

\[ n^2 = p_n^2 \]

где p - простое число
Частный случай утверждения Оппермана

\[ \pi (p_n^2 + p_n ) > \pi (p_n^2 ) > \pi (p_n^2 - p_n ) \]

Используя общую формулу для определения количества простых чисел

Имеем:

\[ \begin{gathered} \pi (p_n^2 + p_n ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}} {{(p_{n - 1} )!}}} \right]} + p_n \cdot \tfrac{{(p_n - 1)!}} {{p_n !}} \hfill \\ \pi (p_n^2 ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}} {{(p_{n - 1} )!}}} \right]} \hfill \\ \pi (p_n^2 - p_n ) = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\left[ {(p_n^2 - p_{n - 1}^2 ) \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}} {{(p_{n - 1} )!}}} \right]} - p_n \cdot \tfrac{{(p_n - 1)!}} {{p_n !}} \hfill \\ \pi (p_n^2 + p_n ) - \pi (p_n^2 ) = p_n \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}} {{p_n !}} \hfill \\ \pi (p_n^2 ) - \pi (p_n^2 - p_n ) = p_n \cdot \tfrac{{(p_{n - 1} )!}} {{p_n !}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Утверждение Оппермана равносильно утверждению, что на интервале

\[ (0,P_n^2 ) \]

нет непрерывной цепочки из составных чисел длиной больше чем

\[ p_n \]

число.
Что бы доказать это равносильное утверждение вернёмся к первоначальной формуле с помощью которой находим количество простых чисел с максимальной погрешностью 12% что доказали участники форума Руст RIP Артамонов

\[ n \cdot m_p \]

То есть формула

\[ p_n \cdot \tfrac{{(p_n - 1)!}} {{p_n !}} \]

должна как минимум давать одно простое число. Иначе погрешность будет 100%. Что повидимому невозможно? Так что если да - то из этого следует утверждение Оппермана для

\[ n = p_n^2 \]

доказано.

[Апис]

Артамонов писал

Цитата:

Формула, с которой мы сравниваем - правильная не в том смысле, что она дает точное значение, а в том, что в пределе она отличается от истинного практически на константу, ваша же формула в пределе врет на множитель >1.
До какого-то момента было интересно, но сейчас все это, по-моему, переливание из пустого в порожнее и искусственное поднятие темы.

Тема которая вас не заинтересовала "Частный случай утверждения Оппермана" показывает, что и в таком немного изменённом виде формула работает. Более того есть элементарный метод с помощью которого можно уменьшить величину погрешности. Если бы вы согласились учавствовать. Нужно посчитать на сколько процентов улучшится результат с новыми параметрами.

[Руст]

Всё, что написали - полная чушь. Главная ошибка в том, что из соотношения $\pi(x)=f(x)+R(x),\pi(y)=f(y)+R(y)$ получается $\pi(x)-\pi(y)=f(x)-f(y)+R(x)-R(y)\not =f(x)-f(y)+R(x-y).$ При этом поправка R(x)-R(y) может оказаться больше основного члена f(x)-f(y).

[Апис]

Руст, ваш довод "поправка может оказаться больше основного члена" ничего не стоит, так как могу заявить, что не может, и вы не докажете обратное. Но сомнения ваши правильны, думаю, не скоро конечно, мне будет что вам сказать.

[PAV]

Апис писал(а):

Руст, ваш довод "поправка может оказаться больше основного члена" ничего не стоит, так как могу заявить, что не может, и вы не докажете обратное

А Руст ничего и не должен доказывать. Это же Ваше утверждение, а не его. Он лишь утверждает, что та аргументация, которой Вы пользуетесь, не является доказательством, и объясняет, почему. А строго доказать - это Ваша забота.

[Апис]

Извините, но я Русту ничего и не предлагал доказывать, потому что он не докажет. А с его сомнениями я согласился, что вас не устраивает?

[PAV]

Да нет, ничего, все нормально.

Добавлено спустя 1 минуту 53 секунды:

Просто я отметил, что Руст указал на ошибочный момент в Ваших рассуждениях, а уже что с этим делать - решайте сами.

[Апис]

Это сообщение продолжение темы: «Количество простых чисел на интервале (р-п)», но тема закрыта. Можно было разместить в теме: «Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами простых чисел», но и эта тема недоступна, на карантине – неверное цитирование. Цитату я заменил полностью, но тема остаётся недоступной. Так что не будет большой беды, если я сообщение размещу в этой теме, тем более все темы взаимосвязаны. Кому будет трудно понять, о чём дискуссия, тот может предварительно посмотреть тему: «Кол. прост. чисел между двумя соседними квадратами простых чисел», там всего страница информации, или посмотреть тему «Количество простых чисел на интервале (р-п)», там информации больше. И так:
Формула для определения количество простых чисел

\[ \pi (n) = n \cdot m_{p_k } \]

на интервале

\[ (p_{k,} n) \]

признана не достойной внимания. «Артамонов писал: Формула, с которой мы сравниваем - правильная не в том смысле, что она дает точное значение, а в том, что в пределе она отличается от истинного практически на константу, ваша же формула в пределе врет на множитель >1.
До какого-то момента было интересно, но сейчас все это, по-моему, переливание из пустого в порожнее и искусственное поднятие темы.»
Ваши заявления сомнительны.
Вернёмся к формуле

\[ \pi (n) = n \cdot m_{p_k } \]

При постоянном (n) значение

\[ m_{p_k } \]

изменяется от p=2 до p=k+1 при этом результат

\[ n \cdot m_{p_k } \]

изменяется от большего к меньшему проходя так называемую точку ноль, это когда до точки ноль результат вычисления больше истинного значения количества простых чисел на интервале

\[ (p_{k,} n) \]

), а после точки ноль, меньше.
Для наглядности приведу пример, при n=168

\[ \begin{gathered} {\text{p\_\_\_\_m}}_{\text{p}} \_\_\_\_\_\_\_\_n \cdot m_p \_\_\_\_\_\_\pi (n) \hfill \\ 2\_\_\_\_0.5\_\_\_\_\_\_\_\_84.5\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 3\_\_\_\_0.3333\_\_\_\_\_\_56.32\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 5\_\_\_\_0.2666\_\_\_\_\_\_45.05\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 7\_\_\_\_0.2285\_\_\_\_\_\_38.61\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 11\_\_\_0.2077\_\_\_\_\_\_35.10*\_\_\_\_\_\_34* \hfill \\ 13\_\_\_0.1918\_\_\_\_\_\_32.41*\_\_\_\_\_\_34* \hfill \\ 17\_\_\_0.1805\_\_\_\_\_\_30.50\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 19\_\_\_0.1710\_\_\_\_\_\_28.89\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ 23\_\_\_0.1635\_\_\_\_\_\_27.63\_\_\_\_\_\_\_34 \hfill \\ \end{gathered} \]

Вот вам пример существования так называемой точки ноль, когда до точки ноль результат вычисления больше истинного значения количества простых чисел на интервале

\[ (p_{k,} n) \]

а после точки ноль, меньше. И точка ноль не имеет тенденцию к постоянному сползанию по значениям

\[ m_{p_k } \]

относительно значения

\[ n \cdot m_{p_k } \]

Тогда как:
Сам факт существования точки ноль говорит о том, что при простой сменой значения mp на один шаг, можно сократить (результат) погрешность на

\[ \frac{{100}} {{p_{k + 1} }}\% \]

Но что бы добиться сокращения результата на 12%, потребуется спуск по значениям

\[ m_{p_k } \]

на всё большее количество шагов, при увеличении числа (n).
Вот здесь и кроется неуловимая неправильность в ваших рассуждениях о процентах погрешности. Смотрите, что бы уложится в 12% изменения значения

\[ m_{p_k } \]

количество шагов при переходе по значениям mp, при больших числах, будет расти до бесконечности. При этом сам результат будет стремиться к нулю. Но при этом стремлении к нулю, результат, когда ни будь должен же перейти точку ноль. А точка ноль не имеет тенденции к постоянному сползанию по значениям

\[ m_{p_k } \]

Явное несоответствие. Это предварительное замечание, более конкретно поговорим об этом через некоторое время.
Что касается константы и множителя <1 на который в пределе врёт моя формула. Мне трудно судить о правильности ваших выводов, так как: Насколько я понимаю, вы сравнили мою формулу с другой формулой и у вас имеются расчёты, по которым выходит, что максимальная погрешность 12%, да к тому же моя формула врёт в пределе на множитель >1. Но почему вы не привели эти расчёты, думаю, имея их на руках не трудно составить сообщение на форум. Так же попутно объясните мне такой нюанс, количество простых чисел в моей работе определяется на интервале

\[ (p_{k,} n) \]

), а формулы что приведены в таблице, определяют количество простых чисел на интервале (0,х) как вы при сравнении обходите такое различие. Мне просто интересно и полезно знать. Хотя если вы представите расчёты я и так всё пойму. Посмотрев предыдущие темы, я даже не понял, кто автор этих расчётов. Согласитесь, это неестественно, что я могу возразить на ваше замечание, когда непонятно, что и откуда взялось.
Из доказательства существования точки ноль, ничего нельзя сказать о конкретном количестве простых чисел. Приведу такой пример: Риман и Гаусс считали, что

\[ Li(x) > \pi (x) \]

для любых x>1. Хотя при теперешнем состоянии таблиц это подтверждается, Литтлвуд в 1914 году доказал, что разность

\[ Li(x) - \pi (x) \]

меняет знак бесконечно много раз. И что, из этого доказательства можно сделать какие-то выводы о конкретном количестве простых чисел за пределами таблиц. Да к тому же эти результаты связаны с функцией

\[ \pi (x) \]

и её сопоставлениями с другими функциями,

\[ \begin{gathered} {\text{x\_\_\_\_\_[}}\frac{{\text{x}}} {{{\text{log(x)}}}}] - \pi (x)\_\_\_\_\_[Li(x)] - \pi (x)\_\_\_\_[R(x)] - \pi (x)\_\_\_\_\pi (x){\text{ }} \hfill \\ {\text{10}}^{\text{8}} \_\_\_ - 332774\_\_\_\_\_\_\_\_\_7054\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_97\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_5761455 \hfill \\ {\text{10}}^{\text{9}} \_\_\_ - 2592592\_\_\_\_\_\_\_\_1701\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ - 79\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_50847534 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{10}}} \_\_\_ - 20758030\_\_\_\_\_\_\_3104\_\_\_\_\_\_\_\_\_ - 1828\_\_\_\_\_\_\_\_\_455052511 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{11}}} \_\_\_ - 169923160\_\_\_\_\_\_11588\_\_\_\_\_\_\_\_ - 2318\_\_\_\_\_\_\_\_\_4118054813 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{12}}} \_\_\_ - 1416706193\_\_\_\_\_38263\_\_\_\_\_\_\_\_ - 1476\_\_\_\_\_\_\_\_\_37607912018 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{13}}} \_\_\_ - 11992858452\_\_\_\_108971\_\_\_\_\_\_\_\_5773\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_346065536839 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{14}}} \_\_\_ - 10288308636\_\_\_\_314890\_\_\_\_\_\_\_ - 192000\_\_\_\_\_\_\_3204941750802 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{15}}} \_\_\_ - 891604962453\_\_\_1052619\_\_\_\_\_\_\_73218\_\_\_\_\_\_\_\_\_29844570422669 \hfill \\ {\text{10}}^{{\text{16}}} \_\_\_ - 7804289844393\_\_3214632\_\_\_\_\_\_\_327052\_\_\_\_\_\_\_\_279238341033925 \hfill \\ {\text{2}} \cdot {\text{10}}^{{\text{15}}} \_ - 15020437343198\_\_3776488\_\_\_\_\_ - 225875\_\_\_\_\_\_\_\_547863431950008 \hfill \\ {\text{4}} \cdot {\text{10}}^{{\text{16}}} \_ - 289299005779950\_\_5538861\_\_\_\_\_ - 10980\_\_\_\_\_\_\_1075292778753150 \hfill \\ \end{gathered} \]

для моей же формулы нет нужды сопоставлять её с другими функциями, у неё внутренняя достаточность и проверка на правильность проистекает не из прямых подсчётов и дальнейшего сравнения, а из внутреннего совершенствования результатов взаимосвязей.
Вы заметили, что я не пользуюсь такими математическими определениями как «полная чушь» и тому подобное. Руст, я хочу попросить вас, что бы вы умерили свою экспрессивность, мы же на форуме.
И последнее, кто ни будь из активных участников, представит обоснованные замечания по общей формуле для определения количества простых чисел на интервале (0,n).

\[ \begin{gathered} \pi (n) = \sum\limits_{k = 3}^\infty {[(p_k^2 - p_{k - 1}^2 ) \cdot \frac{{(p_{k - 1} - 1)\# }} {{(p_{k - 1} )\# }}} ] + (n - p_k^2 ) \cdot \frac{{(p_k - 1)\# }} {{p_k \# }} \hfill \\ p_{k - 1}^2 \leqslant n < p_k^2 \hfill \\ \end{gathered} \]

[PAV]

PAV:

Апис

Вам замечание за размещение темы в постороннем разделе. Обращаю внимание, что вторая тема, о которой Вы пишете, уже давно как не в карантине, она открыта, поэтому в ней можно размещать, что Вам угодно. Что же касается до первой темы - если хотите ее разблокировать, напишите об этом модератору. А так "тема закрыта, поэтому напишу в другом месте" у нас не делается.

Строгое замечание не делаю, учитывая, что Вы сами указали на то, что тему можно было разместить в другом месте. Пожалуйста, определитесь, где Вы хотите ее видеть, и не надо превращать форум в лабиринт. Если это еще повторится (включая введение пользователей в заблюждение относительно закрытых тем), то в следующий раз последуют более жесткие санкции.