Решение нелинейной системы

[Mandel]

Как решить такую систему из $n+1$ уравнений:

$$ A+A+...A = 2, A=\frac{2}{n}, $$ $$ x_1+x_2+\ldots+x_n = 0, $$ $$ x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=\frac{n}{3} $$ $$ x_1^3+x_2^3+\ldots+x_n^3 = 0, $$ $$ x_1^4+x_2^4+\ldots+x_n^4=\frac{n}{5}, $$ $$ \ldots, $$ $$ x_1^n+x_2^n+\ldots+x_n^n = \frac{n(1+(-1)^n)}{2(n+1)} $$

Добавлено спустя 1 час 17 минут 36 секунд:

По-моему,как-то эту систему можно свести к полиному.Вот только как?

[незваный гость]

Можно перейти к основным симметрическим многочленам и воспользоваться теоремой Виета. Получится уравнение $n$-ой степени. Ну и формулы Ньютона Вам в помоч.

Добавлено спустя 17 минут 24 секунды:

P.S. Получите многочлен вида $\sum\limits_{k=0}^{?} a_k x^{n-2k}$ (все нечетные коэффициенты равны 0).

[Alejandros]

незваный гость, в этой теме http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8808 Вы предлагали решать нелинейную систему заменой переменных. Это тоже какой-то известный способ решения нелинейных систем или нет? Как можно было бы сделать замену переменных в той системе, если бы уравнений в ней было не два, а, например, пять или вообще k штук?
Сразу прошу прощения, если мои вопросы звучат немного глупо, просто я с математикой не очень дружу, а в социологии иногда приходится с такими системами сталкиваться.

поравил ссылку // нг

[Руст]

Думаю ваш вопрос формулируется так.

Mandel писал(а):

Как решить такую систему из $n$ уравнений:

$$ x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k = \frac{n(1+(-1)^k)}{2(k+1)}, \ k=1,2,...,n $$

Если без двойки
$x_1^k+x_2^k+...+x_n^k=\frac{n(1+(-1)^k)}{k+1},k=1,2,...,n$
то решением являются корни классического полинома. Вы случайно не эту систему хотели решить?

[незваный гость]

Alejandros писал(а):

Это тоже какой-то известный способ решения нелинейных систем или нет?

Я не уверен, что понял правильно Ваш вопрос, посему отвечу, как могу. Если ответ на неверный вопрос, то не обессудьте, а спросите еще.

Итак: в этой теме идея основывалась на том, что полиномы в системе — симметрические. Поэтому идея рассматривать переменные $x_j$ как корни одного полинома — вполне естественная, так как согласно теореме Виета коэффициенты полинома — с точностью до знака основные симметрические полиномы корней.

В упомянутой Вами теме члены в уравнениях были разной степени. Использование преобразования позволило уравнять степень членов, заодно уменьшив и степень входящих уравнений. Дальще я систему не решал (вернее, решал, но решения не помещал), поскольку на вопрос отвечало существование какого-нибудь нетривиального решения.

Общие методы решения систем уравнений высокого порядка (как я понимаю) существуют, но они по зубам скорее компьютеру. Да и то, во многих случаях результат будет невыразим в компактной форме. Поэтому обычно (не численные) методы решений опираются на какие-то частные особенности задачи, ту или иную симметрию в системе.

[Alejandros]

незваный гость, если бы в той системе из двух уравнений, ссылку на которую я приводил выше, было бы ещё одно уравнение, в котором была бы переменная, например $v$, надо было бы заменить $v \to rt^4$ или всё зависит от уравнения, в которое бы $v$ входило?
И ещё, в той же теме набор $x = t^3, y = 3t^2, z = 3t$ полностью описывает все решения системы, или возможны другие? И вообще, как можно увидеть, что других решений не может быть?
И последний вопрос: если уравнение "почти" симметричеческое, то есть ему мешают быть симметрическим только коэффициенты при слагаемых (не знаю как грамотно объяснить), то уже нельзя пользоваться заменой $x \to x + y, y \to xy$? Например, уравнение $x^3 + xy + y^3$ - симметрическое, а $2x^3 + 5xy + 3y^3$ получается уже не симметрическое?
P.S. Спасибо Вам за подробный ответ

[незваный гость]

Смотри в теме.. А то уж совсем захват чужой темы получается.