Помогите решить 2 геометрических задачи

[Бек]

Условие задач придумал сам:1.дан остроугольный треугольник из 2ух его острых вершин проведены биссектрисы и высоты,получились 2е точки : точка пересечения бисссектрис и точка пересечения высот через эти 2е точки провели прямую,может ли она быть параллельна стороне.
2.условие тоже самое толька сще проведены медианы.образуется 3 точки можетли так быть что образуется равносторонний треугольник

Я знаю что я выражатся не умею(с русским плохо) вопросы по условию задавайте тут же,
а иеще к задачам если вы доказали что утверждения вены то укажите соотношения между углами(1,2 задачи)исоотношение между сторонами 2 задача)

[Lion]

Непонятно, какой стороне должна быть параллельна прямая в задаче 1.

[Бек]

Любой стороне т.е нада докозать что прямая может быть параллельна стороне и указать соотношения между углами или доказать что не параллельна всем сторонам.и =>не указывать соотношения

[Бек]

уж помогите решить ато я уже 3 месяца решаю это так и не решил

[незваный гость]

1) может.

2) сходу не приходит в голову.

[Zai]

Если Вы придумали эти задачи, то решения аналитического может не быть. Напрашивается численное решение. У Вас два произвольных прилежащих угла (от нуля до 90 градусов) при единичной стороне треугольника однозначно определяют все точки. Условие параллельности это около шести операторов в программе. Проверте 1000 вариантов левого и 1000 вариантов правого угла треугольника. Всего будет 1000000 вариантов. Если угол будет менять знак то значит в данной области возможно решение, хотя вполне возможно что точки сольются. То же самое и по поводу равностороннего треугольника. Сосчитать 1000000 вариантов вполне возможно на современных компьютерах. В строгой постановке задачи эти задачи могут быть сведены к решению системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными.

[Батороев]

Бек писал(а):

дан остроугольный треугольник из 2ух его острых вершин проведены биссектрисы и высоты,получились 2е точки : точка пересечения бисссектрис и точка пересечения высот через эти 2е точки провели прямую,может ли она быть параллельна стороне.

На уровне домыслов...
Если обозначить те углы, из которых проведены указанные высоты через $ \alpha, \beta $, а третий угол через $ \gamma $, то как мне кажется, для $ \gamma > \frac{\pi}{3} $ упомянутые построения вообще невозможны.
Имеется решение при $ \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} $, длина упомянутой прямой при этом равна 0.
Отсюда попробую предположить, что и при $ \gamma < \frac{\pi}{3} $ решений нет.

[незваный гость]

Батороев писал(а):

длина упомянутой прямой при этом равна 0.

Это круто!

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:

Батороев писал(а):

длина упомянутой прямой при этом равна 0.

Это круто!

Мне и самому такой ответ не по душе, а записал я его лишь для того, что скажи я:"Решений нет", никто бы не тыкнул в нос этим формальным решением.

[незваный гость]

Когда я говорил «круто», я имел в виду «длина прямой равна 0». На евклидовой плоскости большинство прямых бесконечны, и поэтому иногда говорят о длинах отрезков.

Батороев писал(а):

Мне и самому такой ответ не по душе, а записал я его лишь для того, что скажи я:"Решений нет", никто бы не тыкнул в нос этим формальным решением.

Непременно бы ткнул. Именно этот случай я и имел в виду выше. Мне он вполне по душе.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 5 секунд:

Кстати, не только этот случай. Рассмотрим равнобедренный треугольник, для удобства — в системе координат (основание: точки $(-a,0)$ и $(a,0)$; вершина $(0,b)$, $a,b > 0$). Он, разумеется, равносторонний при $b = \sqrt3 a $.

Наша игра состоит в том, что (а) центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) и ортоцентр (точка пересечения высот) совпадают только в равностороннем треугольнике, (б) параллельность основанию эквивалентна равенству $y$-координаты этих центров и (в) легко показать, что если двигать $b$ вверх-вниз от равностороннего треугольника, центры меняются местами по $y$.

Итак, пусть при $b_1$ ортоцентр выше ц.в.о, а при $b_2$ — ниже. Сдвинем теперь вершину по горизонтали на маленькое $\delta$ ($(\delta, b_{j})$), так, чтобы это соотношение не поменялось. Осталось немного: начинаем двигать $b_1$ и $b_2$ друг к другу. Ясно, что в какой-то момент $y$ координаты центров совпадут. Что нам и требовалось.

Добавлено спустя еще 3 часа 8 минут 57 секунд:

На самом деле, необходимое условие параллельности стороне $a$ записывается как $2 R \cos \beta \, \cos \gamma = r$, где $R$ — радиус описанной, а $r$ — вписанной окружности. И этот факт вполне в рамках школьной планиметрии.

[незваный гость]

P.S. Любопытно, что существование треугольника с рациональными сторонами непосредственно связано с рациональными точками на эллиптической кривой $y^2=x^3+1$. Кто-нибудь знает теорию?

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
P.S. Любопытно, что существование треугольника с рациональными сторонами непосредственно связано с рациональными точками на эллиптической кривой $y^2=x^3+1$. Кто-нибудь знает теорию?

Любые три числа b+c>a>=b>=c>0 образуют треугольник (неважно с рациональными или действительными сторонами). По видимому, речь идёт при допольнитетельном условии - рациональности площади. В этом случае действительно имеется связь с эллиптическими кривыми, см. например Н. Коблиц. "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы".

[незваный гость]

Здесь идет речь о существовании рационального треугольника, в котором прямая, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности, параллельна стороне. Т.е., непосредственно связанного с обсуждаемой задачей.

Собственно, меня интересует вопрос о нетривиальных рациональных точках этой кривой. Тривиальные: $(-1,0)$, $(0,\pm 1)$, $(2,\pm 3)$.

[Батороев]

незваный гость писал(а):

:evil:
Итак, пусть при $b_1$ ортоцентр выше ц.в.о, а при $b_2$ — ниже. Сдвинем теперь вершину по горизонтали на маленькое $\delta$ ($(\delta, b_{j})$), так, чтобы это соотношение не поменялось. Осталось немного: начинаем двигать $b_1$ и $b_2$ друг к другу. Ясно, что в какой-то момент $y$ координаты центров совпадут. Что нам и требовалось.

Добавлено спустя еще 3 часа 8 минут 57 секунд:

На самом деле, необходимое условие параллельности стороне $a$ записывается как $2 R \cos \beta \, \cos \gamma = r$, где $R$ — радиус описанной, а $r$ — вписанной окружности. И этот факт вполне в рамках школьной планиметрии.

При сдвиге вершины, хоть и на маленькое $\delta$ ($(\delta, b_{j})$), на мой взгляд, маленько изменяется и радиус вписанной окружности, что не может привести к точному решению.
Я применял схему, аналогичную Вашей, но с той лишь разницей, что горизонтально сдвигал вписанную окружность. При этом во многих случаях, т.е. при разных исходных углах $ \gamma_1 $ (угол в равнобедренном треугольнике) добиться выполнения исходного условия вовсе не получается, что не отражено в условии: $2 R \cos \beta \, \cos \gamma = r$.

[незваный гость]

Батороев писал(а):

При сдвиге вершины, хоть и на маленькое $\delta$, на мой взгляд, маленько изменяется и радиус вписанной окружности, что не может привести к точному решению.

Конечно, меняется. Но это не страшно: нам важно сохранить не радиус, а взаимное положение центров по вертикали (выше-ниже). А оно, в силу непрерывности, не изменится.

Батороев писал(а):

При этом во многих случаях, т.е. при разных исходных углах $ \gamma_1 $ (угол в равнобедренном треугольнике) добиться выполнения исходного условия вовсе не получается, но это не подтверждается условием: $2 R \cos \beta \, \cos \gamma = r$.

Я не очень понял, но из условия $2 R \cos \beta \, \cos \gamma = r$ следует, что единственный «хороший» равнобедренный треугольник — это равносторонний.

~~~

Конкретный пример: треугольник со сторонами $1, \frac{21-2\sqrt{14}}{28},\frac{21+2\sqrt{14}}{28}$.

Добавлено спустя 2 часа 19 минут 57 секунд:

С эллиптической кривой разобрался: единственный «хороший» треугольник с рациональными сторонами — равносторонний.