графическая интерпретация векторного потенциала магн-го поля

[illuminates]

существует ли графическая интерпретация векторного потенциала магнитного поля?

Если векторный потенциал интерпретировать как векторное поле, из которого операцией ротор мы получаем магнитное векторное поле, то закономерен вопрос: как изобразить (представить) векторное поле векторного потенциала.

[Munin]

Ну, как обычно векторные поля изображают, так и тут. Стрелочки, линии поля.

[illuminates]

Munin
А возможно ли более конкретно это понять?

Допустим у нас есть провод с током, вокруг него вихревое магнитное поле. Как в этой системе нарисовать векторный потенциал?

[Munin]

Допустим ещё, что провод с током прямой, бесконечный, и ненулевой толщины.

Тогда векторный потенциал будет такой: внутри провода он будет большим вектором, сонаправленным с током, а вокруг провода - он будет тоже сонаправленным вектором, но постепенно убывать при удалении от провода.

В поперечном сечении векторный потенциал (перпендикулярный этому сечению, взятый по модулю) будет образовывать решение уравнения Лапласа $\Delta\mathopen{|}\mathbf{A}\mathclose{|}=-4\pi\mathopen{|}\mathbf{j}\mathclose{|}.$

Понятно, зачем я попросил провод ненулевой толщины: чтобы решение в бесконечность не обращалось. Это неудобно как-то. Но к сожалению, по сечению провода векторный потенциал также не будет одинаковым. Условие бесконечного прямого провода нужно, чтобы потенциал имел такой простой вид, иначе, как минимум, придётся брать интеграл $\mathbf{A}=\int\mathbf{j}\,dV/\mathopen{|}\mathbf{r}-\mathbf{r}'\mathclose{|}.$

Всё это - решение в некоторой фиксированной калибровке (нетрудно заметить, что здесь выполняются сразу несколько калибровочных условий: и $\operatorname{div}\mathopen{|}\mathbf{A}\mathclose{|}=0,$ и $\varphi=0,$ и $\partial^\mu A_\mu=0$). В других калибровках оно будет выглядеть иначе, но для базовых рассуждений о векторном потенциале "на пальцах", можно применить это решение.

[illuminates]

Munin
Прощу меня извинить, за мою бестактность, что спустя столько времени продолжаю диалог. Надеюсь, что Вы всё же еще ответите.

Большое спасибо за ответ, но есть кое-что что надо выяснить

Munin в сообщении #769705 писал(а):

векторный потенциал будет такой: внутри провода он будет большим вектором, сонаправленным с током, а вокруг провода - он будет тоже сонаправленным вектором, но постепенно убывать при удалении от провода.

Уравнение Лапласа $\Delta\mathopen{|}\mathbf{A}\mathclose{|}=-4\pi\mathopen{|}\mathbf{j}\mathclose{|}.$ как я понимаю было получено из соотношения:
$\mathbf{H}=\operatorname{rot}\mathbf{A}$

А оно говорит нам о том, что вектор А имеет завихрения ибо не равен нулю. А Вы говорите что векторный потенциал сонаправленным вектором тока.

Возможно Вы говорите о результирующем векторе А, который и вправду таким будет, а истинный вектор А есть кольца вокруг вектора H:

[DimaM]

illuminates в сообщении #771043 писал(а):

Возможно Вы говорите о результирующем векторе А, который и вправду таким будет, а истинный вектор А есть кольца вокруг вектора H

Что такое "истинный вектор", чем он отличается от "результирующего"?
У сонаправленного с проводом вектора вполне может быть ненулевой ротор, поглядите формулы для ротора в цилиндрических координатах.

[Munin]

illuminates в сообщении #771043 писал(а):

Прощу меня извинить, за мою бестактность, что спустя столько времени продолжаю диалог.

Ну, не надо так уж. За полнедели тема ещё не остыла...

illuminates в сообщении #771043 писал(а):

А оно говорит нам о том, что вектор А имеет завихрения ибо не равен нулю.

Имеет вихри. Не "завихрения". "Завихрения" - это про психическое состояние :-)

illuminates в сообщении #771043 писал(а):

А оно говорит нам о том, что вектор А имеет завихрения ибо не равен нулю. А Вы говорите что векторный потенциал сонаправленным вектором тока. Возможно Вы говорите о результирующем векторе А, который и вправду таким будет, а истинный вектор А есть кольца вокруг вектора H:

Почитайте простую книжку
Г. Е. Зильберман. Электричество и магнетизм.
Там в первых главах подробно объясняют, что такое вихри векторного поля, и почему они совсем не обязательно выглядят как "колечки".

Разумеется, одновременно подглядывать в учебник матанализа (раздел "теория поля") крайне полезно.

[illuminates]

Большое спасибо теперь кое-что стало понятно.

Интересно, что когда спросил у преподавателя про векторный потенциал, то мне он сказал, что это лишь формальность, не имеющая ни какого геометрического истолкования. Что это даже не векторное поле, а просто так введеная штука. Но я не успокоился и пошел сюда:)

Возможно ответ на следующий вопрос есть в Зильбермане (пока что не нашел), так что прошу меня простить, но всё же:
Какой смысл описывать векторное поле H, с помощью векторного поля А? Не шило на мыло ли мы меняем?

[DimaM]

illuminates в сообщении #771269 писал(а):

Какой смысл описывать векторное поле H, с помощью векторного поля А? Не шило на мыло ли мы меняем?

Векторное поле А заметно проще находить при заданном распределении токов (не нужно векторное произведение).
Кроме того, иногда векторный потенциал наблюдается, так сказать, непосредственно (см. эффект Ааронова-Бома).

[Munin]

illuminates в сообщении #771269 писал(а):

Интересно, что когда спросил у преподавателя про векторный потенциал, то мне он сказал, что это лишь формальность, не имеющая ни какого геометрического истолкования. Что это даже не векторное поле, а просто так введеная штука. Но я не успокоился и пошел сюда:)

В чисто математическом смысле - это, конечно, векторное поле. Но с точки зрения физики - это, может быть, и формальность, просто так введённая штука. Но это создаёт проблемы с физическим истолкованием, а не с геометрическим.

Дело в том, что с точки зрения классической физики, здесь действительно получается "шило на мыло". Мы выигрываем в одном (проще становится представление поля, формулы вычисления поля - формулы запаздывающих потенциалов Лиенара-Вихерта), но проигрываем в другом: потенциал оказывается не однозначно соответствующей заданной физической реальности штукой. Одну и ту же физическую реальность мы можем описать разными потенциалами, и здесь отличие между ними уже посильнее, чем в случае скалярного потенциала и электростатического поля. К скалярному потенциалу мы можем прибавить только константу, что картины особенно не меняет. А к векторному потенциалу мы можем прибавить целую функцию, имеющую нулевой ротор. Это называется калибровочная инвариантность, и ей посвящено много внимания в теоретической физике. (В конечном счёте, она оказывается не мешающим, а помогающим обстоятельством - помогает выбрать один вариант из многих при поиске законов новых полей, типа полей сильных и слабых взаимодействий.)

DimaM в сообщении #771275 писал(а):

Векторное поле А заметно проще находить при заданном распределении токов (не нужно векторное произведение).

Я бы сказал, векторное поле $\mathbf{A}$ заметно проще находить при заданном распределении зарядов и токов как функции времени - не нужна операция дифференцирования. А векторное произведение - это серьёзной проблемой не смотрится.

[illuminates]

Возможно я плохо знаю математику но всё же:

Я прибавил некую функцию к нашему векторному потенциалу. Графически это происходит так?
Если это действительно так, то закономерен вопрос, вектор А изменил свою длину, что означает что изменится и результат векторного произведения следовательно и поле H? И как мы вообще можем графически интерпретировать операцию ротор, если мы не знаем куда смотрит вектор набла? А если можем, то что-бы ротор был нулевым, вектор набла должен смотреть в туже сторону что и вектор? Т е мы к ротору можем прибавить любую функцию-вектор которая смотрит в сторону наблы?

Можите послать меня, к соответствующим учебникам.

[Munin]

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

Я прибавил некую функцию к нашему векторному потенциалу. Графически это происходит так?

Нет. Векторы можно складывать только с векторами. Поэтому, к векторной функции можно прибавить только векторную функцию.

(То, что вы нарисовали, действительно можно реализовать как прибавление векторной функции. Но это будет векторная функция с ненулевым ротором (посчитайте). Поэтому как раз её прибавлять к векторному потенциалу нельзя.)

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

вектор А изменил свою длину, что означает что изменится и результат векторного произведения следовательно и поле H?

Какого векторного произведения? Как вообще связаны векторное произведение и поле $\mathbf{H},$ вы что???

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

И как мы вообще можем графически интерпретировать операцию ротор

Я же дал книжку Зильбермана. Почему вы её не читаете? Она простая, для школьников. Только вместо слова "ротор" там написано слово "вихрь".

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

если мы не знаем куда смотрит вектор набла?

А он никуда не смотрит, потому что он не вектор. Он векторный оператор.

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

Т е мы к ротору можем прибавить любую функцию-вектор которая смотрит в сторону наблы?

Нет, разумеется. Мы можем прибавить функцию-вектор, такую, что ротор этой функции равен нулю. Таких функций много, например, все потенциальные поля.

illuminates в сообщении #771494 писал(а):

Можите послать меня, к соответствующим учебникам.

Кроме Зильбермана, см. любую из этих книг
Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. III, гл. 18, § 4.
Ильин, Позняк. Основы математического анализа, Ч. II, гл. 6.
Ильин, Садовничий, Сендов. Математический анализ, продолжение курса, гл. 6.
или аналогичных. Это я уже упоминал. Можно даже
Тамм. Основы теории электричества. Приложение 1. Векторный анализ.

[illuminates]

Спасибо за ответы на мои вопросы! Теперь пошел читать соотвествующию литературу.