Законы Кеплера

[Munin]

ewert в сообщении #767093 писал(а):

Общепризнанное -- вовсе не значит историческое.

Ну да. Спасибо, капитан Очевидность.

Но когда говорят "гуковский потенциал", подразумевают именно общепринятое. Если хотите исторической справедливости (основанной на слухах :-) ), можете сказать "ньютоновский потенциал, впервые введённый Гуком" (кстати, никакого потенциала Гук не вводил, саму функцию потенциала как понятие ввели где-то через полтораста лет Кулон и Лаплас). И овцы будут сыты, и волки целы.

ewert в сообщении #767093 писал(а):

Гук же с Ньютоном по поводу того, другого закона вполне реально бодался, и отнюдь не с подачи Арнольда, это медицинский факт.

О да, и от вас тоже будет ноль ссылок на первоисточники...

ewert в сообщении #767093 писал(а):

Извиняюсь, но изменить историю -- не в моих силах.

Пересказать её корректно - тоже не в ваших силах.

[scwec]

1. Стоит отметить, что центральные поля с потенциалами $U=-\frac{k}{r}$ и $U=kr^2$ ($k\ge{0}$) обладают важным свойством. Они единственные из центральных полей, у которых все ограниченные орбиты замкнуты.
2. Что касается литературы, то её рекомендовано достаточно. А вот интереснейшую книгу на эту тему В.В. Белецкого "Очерки о движении космических тел" не упомянули. Советую посмотреть. Не пожалеете.

[Munin]

scwec в сообщении #769389 писал(а):

Стоит отметить, что центральные поля с потенциалами $U=-\frac{k}{r}$ и $U=kr^2$ ($k\ge{0}$) обладают важным свойством. Они единственные из центральных полей, у которых все ограниченные орбиты замкнуты.

У Арнольда есть подробно и об этом свойстве, и о "лишнем интеграле движения", и о замысловатой "двойственности" между этими двумя потенциалами.

scwec в сообщении #769389 писал(а):

Что касается литературы, то её рекомендовано достаточно. А вот интереснейшую книгу на эту тему В.В. Белецкого "Очерки о движении космических тел" не упомянули. Советую посмотреть. Не пожалеете.

Я не нашёл в ней ничего особенного, по сравнению с другими книгами по небесной механике. О чём конкретно идёт речь?

[scwec]

Книга В.В. Белецкого мне нравится стилем изложения, подбором материала. Практическим подходом. Но это не классический учебник. Надеюсь, нравится и ещё понравится многим читателям. Наконец, В.И. Арнольд очень ценил автора и эту книгу. Первый раз она вышла, кажется, в 1972 году.
Теперь о первых интегралах в задаче Кеплера. Точка движется в $\mathbb{R}^3$.
У уравнений движения всего имеется 7 скалярных первых интегралов (интегралы энергии, площадей(3) и Лапласа(3)).
Вопрос. Сколько из них независимых и какие из них находится в инволюции?

[Oleg Zubelevich]

Задача Кеплера в плоскости (в той самой, которая перпендикулярна вектору момента). Две степени свободы. Интеграл площадей и интеграл энергии. По теореме Лиувилля четырехмерное фазовое пространство расслоено на двумерные торы. И в этот момент появляется интеграл Лапласа -- тот его скалярный кусок, который независим с указанными интегралами. Он режет эти двумерные торы на одномерные инвариантные многообразия -- периодические решения. Это не вполне строго, но из этого рассуждения, еще до всяких вычислений, очевидно, что почти все решения должны быть периодическими.

[scwec]

Конечно, всё правильно. Но я бы удовлетворился и ответом, что просто независимых первых интегралов пять, а заодно если привести формулы скобок Пуассона для компонент углового момента и компонент вектора Лапласа.

[Oleg Zubelevich]

а, то есть Вы предлагаете коммутаторы посчитать?, ну это для меня слишком сложно. Эта задача по силам только таким титанам , как Munin

[scwec]

Там ведь неплохо бы и Казимиры посчитать.
Но, надеюсь, до этого дело не дойдёт.
Вообще, nnosipov написал вполне приличный текст, тем более никуда не заглядывая.
А подшлифовать всегда можно.