2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 14:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Навеяно вот этим оффтопом:
Munin в сообщении #766925 писал(а):

(Оффтоп)

У меня такое впечатление, что Oleg Zubelevich, при его несомненных достоинствах, просто не знает задачу Кеплера. В результате, и интегралов побаивается... хотя они там просты и очень красивы, именно в смысле, который он же и ценит.
Вряд ли это так --- все мы слушали в своё время курс теоретической механики, где эти интегралы писались в том или ином виде. Но вот я с тех пор никак не касался теоретической механики и, вполне возможно, что-то подзабыл. Прошу обсудить мой небольшой текст про законы Кеплера (файл прилагаю), который я сочинил для своих студентов с целью их просветить :). Всё ли там в порядке и нет ли ляпов (откровенных и не очень)?

Upd. Файл обновлен.


Вложения:
kepler-new.pdf [233.04 Кб]
Скачиваний: 63
 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Термин "живая сила" всё-таки устарел и спорен (велись споры о том, является ли сохраняющаяся величина "живая сила" $mv$ или $mv^2,$ завершившиеся формулировкой законов сохранения двух величин: импульса и энергии). Кеплер его не употреблял, и вспоминать его в чисто техническом, неисторическом тексте нет нужды. Также довольно неудобны и устарели обозначения типа $\mathit{\mathbf{F}}=(X,Y,Z)$ вместо $\mathit{\mathbf{F}}=(F_x,F_y,F_z)$ (приходится помнить, а от какой величины это компоненты - этим же страдают обозначения времён от Максвелла до первых статей по СТО; потом распространились индексы).

Потенциал $U$ почему-то выбран с обратным знаком по отношению к общепринятому.

Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.

В физике, перед рассмотрением движения под действием центральной силы, сначала рассматривают задачу двух тел, и факторизуют её, вводя систему центра масс и приведённую массу. У вас этого нет.

Формула конического сечения в полярной с. к. у вас уже известный факт? Это не так чтобы самая часто встречающаяся формула, и всплывает обычно именно в связи с задачей Кеплера. Меня всегда смущало, что ради этой формулы приходится лезть в левый учебник, причём либо забытый, либо вообще не пройденный. Может, стоит уделить пару строк её выводу на месте?

Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.

И вообще, есть замечательный текст
Feynman's lost lecture (proof of elliptic orbits)(T)(C)(33s).djvu
в котором, мне кажется, есть что почерпнуть с точки зрения преподавания.

-- 23.09.2013 17:21:02 --

Где можно почитать тексты о выводе законов Кеплера:
0. Учебники по общей физике.
Матвеев. Фейнмановская "потерянная лекция" (см. выше).
1. Учебники по механике.
Арнольд, Ландау-Лифшиц, наверняка Маркеев, Ольховский.
2. Теоретическая физика.
Тот же Ландау-Лифшиц. Медведев.
3. Небесная механика.
Дубошин "Небесная механика. Основные задачи и методы", "Справочное руководство по небесной механике и астродинамике", Рой, Субботин.

-- 23.09.2013 17:21:55 --

Munin в сообщении #766966 писал(а):
Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.

Точно! И для кулоновского случая про случай отталкивания (один только гиперболический режим).

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Munin, спасибо.
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Термин "живая сила" всё-таки устарел и спорен (велись споры о том, является ли сохраняющаяся величина "живая сила" $mv$ или $mv^2,$ завершившиеся формулировкой законов сохранения двух величин: импульса и энергии). Кеплер его не употреблял, и вспоминать его в чисто техническом, неисторическом тексте нет нужды.
Дело в том, что этот текст я подготовил для курса по истории математики. Сам этот курс мне казался не очень нужным и скучным, поэтому я решил упор сделать больше на математику, чем на историю. А термин "живая сила" в каком-то древнем курсе по теоретической механике нашёл (Четаев, кажется).
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Также довольно неудобны и устарели обозначения типа $\mathit{\mathbf{F}}=(X,Y,Z)$
Это, скорее всего, оттуда же.
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Потенциал $U$ почему-то выбран с обратным знаком по отношению к общепринятому.

Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.
Поправлю и добавлю.
Munin в сообщении #766966 писал(а):
В физике, перед рассмотрением движения под действием центральной силы, сначала рассматривают задачу двух тел, и факторизуют её, вводя систему центра масс и приведённую массу. У вас этого нет.
Да, про этот недостаток я знаю. Надо бы дописать.
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Формула конического сечения в полярной с. к. у вас уже известный факт? Это не так чтобы самая часто встречающаяся формула, и всплывает обычно именно в связи с задачей Кеплера. Меня всегда смущало, что ради этой формулы приходится лезть в левый учебник, причём либо забытый, либо вообще не пройденный. Может, стоит уделить пару строк её выводу на месте?
Для студентов-математиков это, по-моему, нормально --- вроде бы стандартный факт, который в курсе аналитической геометрии подробно обсуждается. Не хотелось бы отвлекаться от главной темы. Но можно, конечно, и написать мелким шрифтом.
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Полезно сказать пару слов не только об эллиптическом, но и о параболическом и гиперболическом режимах движения.
Да, согласен. В следующей версии текста, если руки дойдут, сделаю.

За литературу спасибо отдельно. Честно говоря, я не особо куда заглядывал --- просто было любопытно самому сесть и написать все необходимые формулы. Надеюсь, в них-то я не наврал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:44 


10/02/11
6786
nnosipov
Уж не знаю насколько Вам это интересно.
Задача о движении точки в центральном поле имеет два интеграла в инволюции: интеграл площадей и закон сохранения энергии. В случае поля $1/r$ появляется третий интеграл -- интеграл Лапласа (его, имхо, надо упомянуть в любом случае) именно этот третий интеграл ответственен за то, что в задаче Кеплера все ограниченные траектории замкнуты.
Я бы еще рассмотрел приведеный потенциал

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Oleg Zubelevich в сообщении #766992 писал(а):
В случае поля $1/r$ появляется третий интеграл -- интеграл Лапласа (его, имхо, надо упомянуть в любом случае) именно этот третий интеграл ответственен за то, что в задаче Кеплера все ограниченные траектории замкнуты.
Спасибо, этого я просто не знал. Это есть в учебниках из вышеуказанного списка? Или нужно что-то более специальное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:54 


10/02/11
6786
Татаринов Лекции по класс. динамике

Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теор. механика

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 16:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Спасибо. Попробуем почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #766990 писал(а):
А термин "живая сила" в каком-то древнем курсе по теоретической механике нашёл (Четаев, кажется).

Ну, не стоит его употреблять просто так, "для красоты". Почитайте про "спор о живой силе" - это один из знаменитых эпизодов истории науки, как и спор о струне, спор о природе света, спор Эйнштейна с Бором и т. д. В целом, итоги спора таковы: оба оказались правы, а термин, как одеяло, на двоих не тянется, вот от него и отказались вообще :-)

nnosipov в сообщении #766990 писал(а):
вроде бы стандартный факт, который в курсе аналитической геометрии подробно обсуждается

Ну, значит, мне досталась "аналитическая геометрия для нематематиков", без полярной с. к. Ладно, если вашим студентам это известно - всё окей.

nnosipov в сообщении #766990 писал(а):
Надеюсь, в них-то я не наврал?

Формулы я бегло вычитывал. На первый взгляд всё окей.

-- 23.09.2013 18:14:43 --

nnosipov в сообщении #767000 писал(а):
Это есть в учебниках из вышеуказанного списка?

Есть. Почти во всех. (В книжках по небесной механике точно есть. У Арнольда есть. В книжках по теоретической физике - часто рассматривается более общий случай, чем ньютонов потенциал - в нём этого интеграла может быть не указано, зато указана более общая классификация потенциалов и орбит.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 17:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Munin в сообщении #767013 писал(а):
Ну, не стоит его употреблять просто так, "для красоты".
Да, Вы правы, это было именно для "красоты" :)
Munin в сообщении #767013 писал(а):
Формулы я бегло вычитывал. На первый взгляд всё окей.
Спасибо и на этом. Ловля блох --- это уже забота автора.

В общем, текст вышел, конечно, сыроватый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #767021 писал(а):
В общем, текст вышел, конечно, сыроватый.

В первой версии любой текст сыроватый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 18:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ну что же, фронт работ мне примерно понятен. (Сейчас смотрю и думаю: это почему я хоть какой-нибудь список литературы не написал? Для методических текстов это же недопустимо.) Спасибо ещё раз всем за конкретные замечания и комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 20:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #766966 писал(а):
Полезно сообщить, что потенциал вида $U=\pm\tfrac{\alpha}{r}$ называется кулоновским или ньютоновским.

Или, кстати, гуковским. Был там на этот счёт тогда какой-то скандал. Я в истории не разбираюсь; но, возможно, и этот пассаж может оказаться любопытным и полезным. Раз уж речь об истории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 20:33 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #767085 писал(а):
Был там на этот счёт тогда какой-то скандал.
Это не тот, что Арнольд описывает в своей книге "Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #767085 писал(а):
Или, кстати, гуковским.

Чё???

ewert в сообщении #767085 писал(а):
Был там на этот счёт тогда какой-то скандал.

Есть версия, что силу тяготения $\sim-(\mathbf{r}/r)/r^2$ придумал Гук, и эту версию распространял Арнольд (великий "баечник" на исторические темы, на первоисточники не ссылавшийся никогда). Но всё-таки гуковским потенциалом, если такое и будет где-то употреблено, назовут практически гарантированно $U=\tfrac{kx^2}{2},$ а вовсе не $U=\tfrac{\alpha}{r}.$ Так что лучше не вводить в заблуждение.

А каким именно образом были получены законы Ньютона и решения задачи Кеплера - на эту тему полезно смотреть как раз ту самую лекцию Фейнмана, непосредственно Principia Ньютона (в переводе на русский, разумеется), и книжку "Иоганн Кеплер" Белого Ю. А.
И, пожалуй, Уиттекер "История теорий эфира и электричества" 2-й том, там кратко рассказано про историю теории гравитации и небесной механики после Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы Кеплера
Сообщение23.09.2013, 20:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #767089 писал(а):
Но всё-таки гуковским потенциалом, если такое и будет где-то употреблено, назовут практически гарантированно $U=\tfrac{kx^2}{2},$

Общепризнанное -- вовсе не значит историческое. Гук же с Ньютоном по поводу того, другого закона вполне реально бодался, и отнюдь не с подачи Арнольда, это медицинский факт. Уж не знаю, насколько обоснованно (да и не очень это интересно), но что факт -- то факт. Извиняюсь, но изменить историю -- не в моих силах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group