2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 03:15 


10/09/13
214
Возникли трудности с решением двух задач. Подскажите, пожалуйста, идею...(ниже написал свои соображения)

1) Решите систему

$\left\{\begin{matrix}
 |z^2-2i|=4 \\ 
 \left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1
\end{matrix}\right.$

Есть такая идея $z=x+iy$

$$|z^2-2i|=4=> |x^2-y^2+2xyi-2i|=4=>(x^2-y^2)^2+4(xy-1)^2=16=>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2-8xy=0$$

$$ \left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1=>  \left|\dfrac{x+1+i(y+1)}{x-1+i(y-1)}\right|=1 =>\left|\dfrac{(x+1+i(y+1))(x-1-i(y-1))}{(x-1)^2+(y-1)^2}\right|=1$$

2) Решите уравнение

$2z^3-5z^2-2z=2$

$z=x+iy$

Получаем $2 x^3+i (6 x^2 y-10 x y-2 y^3-2 y)-5 x^2-6 x y^2-2 x+5 y^2 = 2$

$\left\{\begin{matrix}
 2 x^3-5 x^2-6 x y^2-2 x+5 y^2=2 \\ 
 6 x^2 y-10 x y-2 y^3-2 y=0
\end{matrix}\right.$

Сложная система получилась...

Что же можно еще сделать тут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 04:06 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
В первой системе второе уравнение дорешайте. Было бы быстрее сравнить модуль числителя и модуль знаменателя (или сделать из геом. соображений), но и так придёте туда же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 05:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Во втором уравнении должен быть по крайней мере один действительный корень.
Его не видно :-( Если бы справа стояло $3$, то уравнение решалось бы просто. А так — без формул решения кубических уравнений не обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
В системе второе уравнение геометрически что означает? Правильный ответ на этот простой вопрос
даёт устное решение всей задачи.
gris в сообщении #769868 писал(а):
Если бы справа стояло $3$

Или $-2$, но вряд ли - тогда комплексность побоку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 12:14 


10/09/13
214
Otta в сообщении #769863 писал(а):
В первой системе второе уравнение дорешайте. Было бы быстрее сравнить модуль числителя и модуль знаменателя (или сделать из геом. соображений), но и так придёте туда же.


$\left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1$

$|z+i+1|=|z-i-1|$

$|x+1+i(y+1)|=|(x-1)+i(y-1)|$

$(x+1)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-1)^2$

$(x+1)^2-(x-1)^2=(y-1)^2-(y+1)^2$

$((x+1)-(x-1))((x+1)+(x-1))=((y-1)-(y+1))((y-1)+(y+1))$

$2(2x)=-2(2y)$

$x+y=0$

$z=x+iy=x-ix=x(1-i)$

Вот так?

-- 02.10.2013, 12:18 --

Подставляя в 1 уравнение системы $|z^2-2i|=4$, получаем $|x^2(1-i)^2-2i|=4=> |-2 i x^2-2 i|=4=>x=\pm 1$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 12:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Tosha в сообщении #769927 писал(а):
Верно?

Верно. Осталось $z$ выписать.
И вопрос, что означает второе уравнение системы геометрически, интересен сам по себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 12:54 


10/09/13
214
Otta в сообщении #769934 писал(а):
Tosha в сообщении #769927 писал(а):
Верно?

Верно. Осталось $z$ выписать.
И вопрос, что означает второе уравнение системы геометрически, интересен сам по себе.


Спасибо.

$z_1=1-i$

$z_2=-1+i$

Что означает -- видимо окружности с центрами в $(1;1)$ и $(-1;-1)$, одного радиуса, которые пересекаются по прямой $y=-x$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения, комплексные числа
Сообщение02.10.2013, 13:00 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не. Несовпадающие окружности пересекаются в двух точках, не более, а решение Вашего уравнения - вовсе не две. На самом деле, ответ Вы знаете, т.к. уравнение решено. Осталось увидеть, как его можно было понять из уравнения непосредственно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group