Уравнения, комплексные числа

[Tosha]

Возникли трудности с решением двух задач. Подскажите, пожалуйста, идею...(ниже написал свои соображения)

1) Решите систему

$\left\{\begin{matrix} |z^2-2i|=4 \\ \left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1 \end{matrix}\right.$

Есть такая идея $z=x+iy$

$$|z^2-2i|=4=> |x^2-y^2+2xyi-2i|=4=>(x^2-y^2)^2+4(xy-1)^2=16=>(x^2-y^2)^2+4x^2y^2-8xy=0$$

$$ \left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1=> \left|\dfrac{x+1+i(y+1)}{x-1+i(y-1)}\right|=1 =>\left|\dfrac{(x+1+i(y+1))(x-1-i(y-1))}{(x-1)^2+(y-1)^2}\right|=1$$

2) Решите уравнение

$2z^3-5z^2-2z=2$

$z=x+iy$

Получаем $2 x^3+i (6 x^2 y-10 x y-2 y^3-2 y)-5 x^2-6 x y^2-2 x+5 y^2 = 2$

$\left\{\begin{matrix} 2 x^3-5 x^2-6 x y^2-2 x+5 y^2=2 \\ 6 x^2 y-10 x y-2 y^3-2 y=0 \end{matrix}\right.$

Сложная система получилась...

Что же можно еще сделать тут?

[Otta]

В первой системе второе уравнение дорешайте. Было бы быстрее сравнить модуль числителя и модуль знаменателя (или сделать из геом. соображений), но и так придёте туда же.

[gris]

Во втором уравнении должен быть по крайней мере один действительный корень.
Его не видно Если бы справа стояло $3$, то уравнение решалось бы просто. А так — без формул решения кубических уравнений не обойтись.

[bot]

В системе второе уравнение геометрически что означает? Правильный ответ на этот простой вопрос
даёт устное решение всей задачи.

gris в сообщении #769868 писал(а):

Если бы справа стояло $3$

Или $-2$, но вряд ли - тогда комплексность побоку.

[Tosha]

Otta в сообщении #769863 писал(а):

В первой системе второе уравнение дорешайте. Было бы быстрее сравнить модуль числителя и модуль знаменателя (или сделать из геом. соображений), но и так придёте туда же.

$\left|\dfrac{z+i+1}{z-i-1}\right|=1$

$|z+i+1|=|z-i-1|$

$|x+1+i(y+1)|=|(x-1)+i(y-1)|$

$(x+1)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-1)^2$

$(x+1)^2-(x-1)^2=(y-1)^2-(y+1)^2$

$((x+1)-(x-1))((x+1)+(x-1))=((y-1)-(y+1))((y-1)+(y+1))$

$2(2x)=-2(2y)$

$x+y=0$

$z=x+iy=x-ix=x(1-i)$

Вот так?

-- 02.10.2013, 12:18 --

Подставляя в 1 уравнение системы $|z^2-2i|=4$, получаем $|x^2(1-i)^2-2i|=4=> |-2 i x^2-2 i|=4=>x=\pm 1$

Верно?

[Otta]

Tosha в сообщении #769927 писал(а):

Верно?

Верно. Осталось $z$ выписать.
И вопрос, что означает второе уравнение системы геометрически, интересен сам по себе.

[Tosha]

Otta в сообщении #769934 писал(а):

Tosha в сообщении #769927 писал(а):

Верно?

Верно. Осталось $z$ выписать.
И вопрос, что означает второе уравнение системы геометрически, интересен сам по себе.

Спасибо.

$z_1=1-i$

$z_2=-1+i$

Что означает -- видимо окружности с центрами в $(1;1)$ и $(-1;-1)$, одного радиуса, которые пересекаются по прямой $y=-x$. Верно?

[Otta]

Не. Несовпадающие окружности пересекаются в двух точках, не более, а решение Вашего уравнения - вовсе не две. На самом деле, ответ Вы знаете, т.к. уравнение решено. Осталось увидеть, как его можно было понять из уравнения непосредственно.