Артамонов Ю.Н. писал(а):
Приведу схему доказательства:
1. Нужно показать, что
;
2.
.
Тогда очевидно, что
, т.к. при
получим ровно
.
Осталось доказать п.1 и п. 2.
Анализ сформулированных пунктов приводит к необходимости отдельного рассмотрения двух случаев:
в виду симметрии положим
,
Случай 1.
;
Случай 2.
.
Докажем справедливость неравенства для случая 1.
1. Докажем п.1.
. После преобразований имеем
. Рассмотрим функцию
. Она принимает неотрицательные значения, когда
, действительно, после преобразований имеем
- верно при
. Поскольку у нас для этого случая
, то
и
, а
имеет больший порядок малости, т.к. здесь делим на самое большое
и умножаем на самое малое
.
2. Докажем п.2. Здесь нам нужно доказать, что функция
монотонная, выпуклая вниз, начиная с некоторого
. Тогда становится ясно, что она ограничена снизу
, т.к. при
она равна
. Функция терпит три разрыва, можно показать, что в точке крайнего правого разрыва плюс нуль функция уходит в плюс бесконечность (хотя это и непринципиально для доказательства). Поскольку
имеет конечное число точек экстремума, то ясно, что, начиная с некоторого
, она будет монотонной. Докажем, что она будет монотонно убывать. Рассмотрим функцию
и выясним условие, при котором она выпукла вниз при положительном
. Имеем
. После преобразований получаем требование
. Таким образом, в случае 1 две компоненты функции
выпуклы вниз. Для того, чтобы показать, что
выпукла вниз, достаточно убедиться, что
. Имеем
. В виду изложенного, здесь
,
, а
имеет в сравнении с ними больший порядок малости, т.к. умножаем на меньшее, делим на большее. ч.т.д.