плотность пространства тест-функций в пространстве Соболева

[dikiy]

Буду краток:

Лежит ли пространство $C^{\infty}_0[0,\infty)$ плотно в $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$? ну или плотно в $W_2^1[0,\infty)$...

Обрыл много чего уже. И Смирнова, и Колмогорова и Мазью. Но материала как обычно - много. Теорем тоже. С трудом могу собрать в голове воедино.

[Oleg Zubelevich]

Функции из замыкания $C^\infty_0$ в $W_2^1$ чему равны в $0$?

[sup]

Могу еще указать книгу "Введение в теорию кубатурных формул" Соболева С.Л. Там прямо рассматривается вопрос о плотности бесконечно-дифференцируемых функций в пространствах Соболева.
А вообще, общий подход примерно такой. С помощью разбиения единицы сводим вопрос к функциям равным 0 в достаточно большой окрестности 0. Далее, в качестве финитного приближения функции $f$ используем функцию вида $\tilde f(x) = f(x) \varphi(\ln \ln x)$, с подходящей срезкой $\varphi$. Функция $\varphi$ гладкая с ограниченной производной. Тут главное то, что при дифференцировании возникает множитель $\frac{1}{x\ln x}$, после чего можно применять неравенство Харди.

[Oleg Zubelevich]

общих подходов несколько, можно с дельта-образной последовательностью сворачивать... Я вот только хотел уточнить, что если под $C_0^\infty$ понимается множество функций, которые в частности равны нулю в нуле (?) то ответ на вопрос ТС "нет"

[shwedka]

Цитата:

что если под $C_0^\infty$ понимается множество функций, которые в частности равны нулю в нуле

Нет. Всегда тим символом обозначается множество функций с компактным носителем. Это условие для интервала $[0,\infty)$ не требует равенства нулю в нуле. Другое дело, если бы интервал был $(0,\infty)$ В нем компактный носитель не добирается до нуля, и потому функции в нуле должны зануляться.

[Oleg Zubelevich]

shwedka в сообщении #768483 писал(а):

Нет. Всегда тим символом обозначается множество функций с компактным носителем.

нет не всегда, например в учебнике Folland Real Analisys .... функции с компактным носителем метятся сабскриптом "с", а $C_0$ используется для другого множества. Поэтому надо оговаривать.

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #768443 писал(а):

общих подходов несколько, можно с дельта-образной последовательностью сворачивать... Я вот только хотел уточнить, что если под $C_0^\infty$ понимается множество функций, которые в частности равны нулю в нуле (?) то ответ на вопрос ТС "нет"

Я имел в виду функции с компактным носителем в $[0,\infty)$. Ну и в частности да, они равны нулю в $0$. Но кроме того, я забыл указать, что интересует не все $W^1_2[0,\infty),$ а $\mathring W^1_{2,\mu}[0,\infty)$. Ну то бишь функции в нуле должны быть "нулём".

[ewert]

dikiy в сообщении #768597 писал(а):

И кстати, почему ответ "нет", если в $C_0^\infty$ не требовать обнуления в нуле?

Только не не требовать, а требовать. По соотв. теореме вложения: соболевская норма держит значения самой функции в отдельных точках; вот, в частности, и ноль в нуле удержит.

Нетривиальность меры никакого значения здесь не имеет (если, во всяком случае, эта мера локально ограничена или хотя бы локально суммируема).

[dikiy]

спасибо. но кстати на бесконечном интервале еще вопрос, является ли норма.

$f(0)+\|\dot f\|_{L{2,\mu}}$ эквивалентной $\|f\|_{L{2,\mu}}+ \|\dot f\|_{L{2,\mu}}$

[Oleg Zubelevich]

topic75739.html

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #768618 писал(а):

http://dxdy.ru/topic75739.html

так ничего же неизвестно о компактности вложения $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$ в $L_{2,\mu}[0,\infty)$.

Точнее известно, но только для таких весовых функций $\mu$, что выполняется

$$\lim_{t\rightarrow\infty}\frac {\mu(t+\epsilon)} {\mu(t)}=0,\ \forall\epsilon>0$$

и что имеется ввиду под $M$ обладает _хорошей границей_ (слова из указанного вами топика)?

PS

спасибо за теорему. занес в закладки.

[Oleg Zubelevich]

а про $\mu$ что-то предполагать придется в любом случае

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #768621 писал(а):

а про $\mu$ что-то предполагать придется в любом случае

собственно в моем случае $\mu(t)=exp(-t)$. И я как раз пытаюсь доказать неравенство Пуанкаре. Доказательство получилось, но без использования плотности $C_0^\infty$. И соотвественно не так красиво.

Но в общем-то это оставляет в силе вопрос из топика. лежат они плотно, или все таки не лежат??

Ну а в случае такой меры указанный в моем предыдущем посте предел не будет равен 0. То есть не существует компактного вложения $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$ в $L_{2,\mu}[0,\infty)$.

[Oleg Zubelevich]

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

собственно в моем случае $\mu(t)=exp(-t)$. И я как раз пытаюсь доказать неравенство Пуанкаре. Доказательство получилось, но без использования плотности $C_0^\infty$. И соотвественно не так красиво.

Но в общем-то это оставляет в силе вопрос из топика. лежат они плотно, или все таки не лежат??

Пространство $C_0^\infty[0,\infty)$, понимаемое в смысле shwedka,
лежит плотно в $H^1_\mu[0,\infty)$

-- Сб сен 28, 2013 15:03:19 --

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

То есть не существует компактного вложения $W_{2,\mu}^1[0,\infty)$ в $L_{2,\mu}[0,\infty)$.

не факт, подумать надо

[ewert]

dikiy в сообщении #768622 писал(а):

Но в общем-то это оставляет в силе вопрос из топика. лежат они плотно, или все таки не лежат??

Лежат независимо от меры -- просто потому, что соболевские финитные функции плотны. Поскольку любую соболевскую можно сколь угодно точно приблизить финитной, умножив её на функцию вида $\varphi(\varepsilon x)$, где $\varphi(t)$ -- сглаженная ступенька.