Могу еще указать книгу "Введение в теорию кубатурных формул" Соболева С.Л. Там прямо рассматривается вопрос о плотности бесконечно-дифференцируемых функций в пространствах Соболева.
А вообще, общий подход примерно такой. С помощью разбиения единицы сводим вопрос к функциям равным 0 в достаточно большой окрестности 0. Далее, в качестве финитного приближения функции

используем функцию вида

, с подходящей срезкой

. Функция

гладкая с ограниченной производной. Тут главное то, что при дифференцировании возникает множитель

, после чего можно применять неравенство Харди.