Тензоры - алгебраические объекты.
Это заявление столь же лицемерно, как и отнесение линейной алгебры к алгебре.
На самом деле, линейная алгебра - это раздел математики, применяющий
алгебраические методы для работы с
геометрическими проблемами (являющимися обобщением геометрических проблем векторов, аффинных преобразований, аналитической геометрии).
Аналогично, и тензоры не имеют самостоятельной ценности как алгебраические объекты, это инструменты для геометрии и матанализа. До определённого этапа они "чисто алгебраические", но вся мотивация накручивать этот алгебраический аппарат - именно геометрическая.
Можно даже сказать, что алгебра - это "детали реализации", вообще неинтересные для понимания тензоров как сущности. (Я так говорить не собираюсь.) Есть способы от них оторваться, и иметь дело именно с тем, что нам надо.
Хорошо и правильно до римановых многообразий знакомить людей с элементарной диф. геометрией поверхностей в
.
Но потом важно акцентировать тот нюанс, что
в
принципиально богаче, чем в
(появляются компоненты со всеми различающимися индексами).
-- 27.09.2013 12:32:58 -- там возникает по ходу дела как набор из
скалярных полей, значения которых определяют точку в некоторой области однозначно.
Вот этот момент мне не нравится, поскольку не видно никакого прозрачного способа его обобщить. Он выглядит как задача с известным ответом (в
есть точки, и их можно нумеровать системами координат). А если ответ другой (бесконечномерное пространство, супермногообразие)?