Грубое введение в тензоры

[вздымщик Цыпа]

Утундрий в сообщении #768066 писал(а):

В общем, нащупываются два (нечестных) пути.

Есть способ без $\mathbb R^n$, во всяком случае на начальном этапе.

Можно взять за отправную точку скалярные поля. Это такое подмножество функций из $M$ в $\mathbb R$, замкнутое относительно применения гладких функций произвольной арности. Т.е. если $f_i(x)$, скалярные поля, то и $F(\dots, f_i(x), \dots)$ тоже скалярное поле.

Далее, векторные поля определяются как дифференцирования на скалярных полях. Ну а потом градиенты, связность, кручение, кривизна как обычно.

$\mathbb R^n$ там возникает по ходу дела как набор из $n$ скалярных полей, значения которых определяют точку в некоторой области однозначно.

Само собой, такой способ эквивалентен традиционному с картами и атласами.

Занятно то, что само множество $M$ при таком подходе никому не интересно, а интересно только какое же подмножество функций из него в $\mathbb R^n$ будет взято.

Посмотреть такое изложение можно например в Пенроуз Р., Риндлер В. «Спиноры и пространство-время», т.1 гл.4 «Дифференцирование и кривизна».

[Munin]

casualvisitor в сообщении #768188 писал(а):

Тензоры - алгебраические объекты.

Это заявление столь же лицемерно, как и отнесение линейной алгебры к алгебре.

На самом деле, линейная алгебра - это раздел математики, применяющий алгебраические методы для работы с геометрическими проблемами (являющимися обобщением геометрических проблем векторов, аффинных преобразований, аналитической геометрии).

Аналогично, и тензоры не имеют самостоятельной ценности как алгебраические объекты, это инструменты для геометрии и матанализа. До определённого этапа они "чисто алгебраические", но вся мотивация накручивать этот алгебраический аппарат - именно геометрическая.

Можно даже сказать, что алгебра - это "детали реализации", вообще неинтересные для понимания тензоров как сущности. (Я так говорить не собираюсь.) Есть способы от них оторваться, и иметь дело именно с тем, что нам надо.

casualvisitor в сообщении #768188 писал(а):

Хорошо и правильно до римановых многообразий знакомить людей с элементарной диф. геометрией поверхностей в $\mathbb{R}^3 }$.

Но потом важно акцентировать тот нюанс, что $R^i{}_{jkl}$ в $\mathbb{R}^{n\geqslant 4}$ принципиально богаче, чем в $\mathbb{R}^3$ (появляются компоненты со всеми различающимися индексами).

-- 27.09.2013 12:32:58 --

вздымщик Цыпа в сообщении #768193 писал(а):

$\mathbb R^n$ там возникает по ходу дела как набор из $n$ скалярных полей, значения которых определяют точку в некоторой области однозначно.

Вот этот момент мне не нравится, поскольку не видно никакого прозрачного способа его обобщить. Он выглядит как задача с известным ответом (в $M$ есть точки, и их можно нумеровать системами координат). А если ответ другой (бесконечномерное пространство, супермногообразие)?

[casualvisitor]

(Munin, не хамите)

Munin в сообщении #768263 писал(а):

Это заявление столь же лицемерно ...

Не хамите.

[provincialka]

casualvisitor в сообщении #768291 писал(а):

(Munin, не хамите)

Munin в сообщении #768263 писал(а):

Это заявление столь же лицемерно ...

Не хамите.

(Оффтоп)

casualvisitor, не будьте таким чувствительным. Вас не оскорбляли, просто сравнили с аналогичным общим заблуждением. Тензоры, конечно, нужны для геометрии.

[Munin]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #768291 писал(а):

Не хамите.

Вы обиделись? Я не имел в виду оскорбления. Я имел в виду некорректное высказывание, когда высказывающийся в курсе истинной ситуации. Причём некорректное высказывание с виду обоснованно и логично.

Если вы предложите другой термин для описания этой ситуации, а использованный мной - воспринимаете только как оскорбление, я переформулирую и извинюсь.

[casualvisitor]

(Munin)

Munin в сообщении #768315 писал(а):

casualvisitor в сообщении #768291 писал(а):

Не хамите.

Вы обиделись? Я не имел в виду оскорбления. Я имел в виду некорректное высказывание, когда высказывающийся в курсе истинной ситуации. Причём некорректное высказывание с виду обоснованно и логично.

Если вы предложите другой термин для описания этой ситуации, а использованный мной - воспринимаете только как оскорбление, я переформулирую и извинюсь.

Да, я обиделся.
Потому, что Ваши слова оскорбительны, независимо от Ваших намерений.
Да, Вам следует принести мне извинения.
Нет, мне не надо предлагать никаких "других терминов". Вам достаточно было бы убрать из Вашего сообщения слова:

Munin в сообщении #768263 писал(а):

Это заявление столь же лицемерно, как и отнесение линейной алгебры к алгебре.

Эти слова ничего не добавляют к Вашему сообщению по существу, а лишь зачем-то выражают ваши эмоции. Но "переформулировка" Ваших сообщений - не моя забота, а Ваша. И, надеюсь, модераторов.

[Munin]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #768325 писал(а):

Эти слова ничего не добавляют к Вашему сообщению по существу, а лишь зачем-то выражают ваши эмоции.

Ну что ж, вот вам мой ответ.
Эти слова несут заметную часть существа моего сообщения. Да, они выражают мои эмоции, но не только.
Удалять их я не намерен. Если вы не предложите другой формулировки (сохраняющей, с моей точки зрения, существо), они останутся как есть.
Оскорбления в ваш адрес я не вижу, после моих пояснений, и в силу нежелания с вашей стороны участвовать в исправлениях, извинений также не принесу. Я предложил взаимно пойти навстречу, вы отказались. (Я всё ещё жду, что вы можете изменить это решение. Моё прежнее предложение в силе.)
Такой же будет моя позиция и перед модераторами.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #768263 писал(а):

Вот этот момент мне не нравится, поскольку не видно никакого прозрачного способа его обобщить. Он выглядит как задача с известным ответом (в $M$ есть точки, и их можно нумеровать системами координат). А если ответ другой (бесконечномерное пространство, супермногообразие)?

Как раз ровно наоборот. Такой набор аксиом выбран в этом конкретном случае для того, чтоб получить объект эквивалентный традиционно определенному многообразию. Свойства, которые неизбежно вытекают при пляске от $\mathbb R^n$ (хаусдорфовость, наличие счетной базы топологии, $n$-мерность), выделены здесь в явном виде и если их по отдельности варьировать, то можно получать различные обобщения.

[Munin]

вздымщик Цыпа в сообщении #768335 писал(а):

Такой набор аксиом выбран в этом конкретном случае для того, чтоб получить объект эквивалентный традиционно определенному многообразию.

Формально эквивалентный - не то же самое, что методически.

вздымщик Цыпа в сообщении #768335 писал(а):

Свойства, которые неизбежно вытекают при пляске от $\mathbb R^n$ (хаусдорфовость, наличие счетной базы топологии, $n$-мерность), выделены здесь в явном виде и если их по отдельности варьировать, то можно получать различные обобщения.

Видимо, мы разные обобщения держим в голове. Я перечислил те, которые важны для физики. А нехаусдорфовы пространства физике как-то ни к чему.

Правда, я ещё про некоммутативную геометрию забыл. Если она вашим способом вводится естественно - это уже большой плюс.

[вздымщик Цыпа]

Munin в сообщении #768341 писал(а):

Формально эквивалентный - не то же самое, что методически.

Разумеется. Если бы еще и методически эквивалентный, то какой же в нем был бы смысл?

Munin в сообщении #768341 писал(а):

Видимо, мы разные обобщения держим в голове. Я перечислил те, которые важны для физики. А нехаусдорфовы пространства физике как-то ни к чему.

Правда, я ещё про некоммутативную геометрию забыл. Если она вашим способом вводится естественно - это уже большой плюс.

Этот способ не только не мой, но даже и не Пенроуза. Он там в книге дает ссылки на источники. Какие конкретно варианты можно получить таким подходом мне неведомо. Я всего лишь сообщил о его наличии и рассказал, где можно почитать подробнее.

[Munin]

вздымщик Цыпа
Спасибо.

[vanger]

Munin в сообщении #768263 писал(а):

casualvisitor в сообщении #768188 писал(а):

Тензоры - алгебраические объекты.

Это заявление столь же лицемерно, как и отнесение линейной алгебры к алгебре.

На самом деле, линейная алгебра - это раздел математики, применяющий алгебраические методы для работы с геометрическими проблемами (являющимися обобщением геометрических проблем векторов, аффинных преобразований, аналитической геометрии).

Всё же идея линейности слишком сильно пронизывает математику, чтобы говорить: "На самом деле это нужно для того". На всё можно смотреть с разных сторон. И уж здесь-то взгляд с другой стороны: линейная алгебра -- раздел алгебры, изучающий алгебраические структуры специального вида(для которых могут быть полезными геометрические мысленные образы), совсем естественен.

В педагогическом плане подход, высказанный casualvisitor(линейное пространство --> тензорная алгебра --> тензорное расслоение) мне представляется более естественным и понятным, нежели сначала многообразие, а потом уж как-нибудь тензоры прям на нём. Впрочем, если задаваться целью поставить рекорд по скорости обучения сноповязалки написанию правильных формул про тензор кривизны, то второй подход, наверное, лучше.

[Munin]

vanger в сообщении #768511 писал(а):

Всё же идея линейности слишком сильно пронизывает математику, чтобы говорить: "На самом деле это нужно для того".

Ммм, пожалуй. Но всё-таки, везде, где есть идея линейности, возникает и идея геометричности. Начиная даже со слова "линия" :-) Линейные алгебраические структуры подобны плоскостям, их обобщения используют идею кривизны, и т. п.

Я не знаю, как можно было бы воспринимать линейную алгебру без геометрических образов.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #768263 писал(а):

Это заявление столь же лицемерно, как и отнесение линейной алгебры к алгебре.

На самом деле, линейная алгебра - это раздел математики, применяющий алгебраические методы для работы с геометрическими проблемами (являющимися обобщением геометрических проблем векторов, аффинных преобразований, аналитической геометрии).

На самом деле это не более чем ваше мнение и ваш кругозор. Что очевидно при знакомстве с текстом Бурбаков "Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра."

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #768536 писал(а):

На самом деле это не более чем ваше мнение и ваш кругозор.

Познакомьте с вашим мнением и вашим кругозором.