Представление дельты Дирака

[Pupkin]

Почитываю квант. механику, а там встретил такие преобразования. Не пойму как вышел переход к синусам? (последний шаг)

[Oleg Zubelevich]

ядро Дирихле. Интересно а аффтары сами понимают в каком смысле считают предел?

[Munin]

$e^{2ix}-1=e^{ix}(e^{ix}-e^{-ix})=2ie^{ix}\sin x$
$\dfrac{1-e^{(2\pi i/L)(N+1)x}}{1-e^{(2\pi i/L)x}}=\dfrac{-2ie^{(\pi i/L)(N+1)x}\sin[(\pi/L)(N+1)x]}{-2ie^{(\pi i/L)x}\sin[(\pi/L)x]}=e^{(\pi i/L)Nx}\dfrac{\sin[(\pi/L)(N+1)x]}{\sin[(\pi/L)x]}$
$\dfrac{1-e^{(2\pi i/L)(N+1)x}}{1-e^{(2\pi i/L)x}}+\text{c.c.}=(e^{(\pi i/L)Nx}+e^{(-\pi i/L)Nx})\dfrac{\sin[(\pi/L)(N+1)x]}{\sin[(\pi/L)x]}=$
$=\dfrac{2\cos[(\pi/L)Nx]\sin[(\pi/L)(N+1)x]}{\sin[(\pi/L)x]}=\dfrac{\sin[(\pi/L)(2N+1)x]+\sin[(\pi/L)x]}{\sin[(\pi/L)x]}$

[Pupkin]

Спасибо обоим за ответы. Теперь все ясно. Промаялся маленько, а без вас не решил.
Шутку о пределе не понял. Что с ним не так?

[Oleg Zubelevich]

а Вы просто подумайте, что означает этот предел. В каком смысле понимать сходимость этого ряда? Возьмите какой-нибудь $x$, посмотрите сходится ли ряд в этой точке. Подумайте, не только же формулы писать.

[Pupkin]

Oleg Zubelevich в сообщении #767305 писал(а):

а Вы просто подумайте, что означает этот предел. В каком смысле понимать сходимость этого ряда? Возьмите какой-нибудь $x$, посмотрите сходится ли ряд в этой точке. Подумайте, не только же формулы писать.

При большом $n$ экспонента бистро осциллирует. Обе сумы гасят друг друга (нарисовал график). При $x=0$ получаем расходящийся ряд $\to \inf$, что нам и надо. Я так понял, что на пределе и при $-L/2\leqslant x\leqslant L/2$ имеем бесконечность при $x=0$ и 0 вне?

[Munin]

Pupkin в сообщении #767433 писал(а):

При $x=0$ получаем расходящийся ряд $\to \infty$, что нам и надо.

На самом деле, нам надо не совсем это. Нам надо, чтобы было $\int\delta(x)dx=1.$
Бесконечность пишется \infty, а \inf - это инфимум.

[Pupkin]

Понял.
А насчет дельты, она ведь $\to \infty$ только в одной точке, поэтому результатом интеграла будет что-то конечное?
Какое решение предлагаете вы?

[Oleg Zubelevich]

Pupkin
У Вас , ведь есть частичная сумма этого ряда:

$$\dfrac{\sin[(\pi/L)(2N+1)x]}{\sin[(\pi/L)x]}$$

возьмите $L=1,\quad x=\sqrt{2}$ и поcмотрите, что будет при $N\to\infty$

А потом я Вам расскажу в каком смысле надо понимать сходимость этого ряда.

[Pupkin]

Предела, как такового, нет. Част. сумма заключена между $(+1..-1)/\operatorname{const}, \operatorname{const}=\sin(\pi\sqrt{2})$

[Oleg Zubelevich]

Вот именно, предела нет. Ряд расходится для почти всех $x$.

Для определенности положим $L=2\pi$
Через $\mathcal{D}$ обозначим множество бесконечно гладких $2\pi-$периодических функций $\psi(x)$. Правильнее считать, что такие функции определены на окружности длины $2\pi$.

Через $s_N(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{|k|\le N}e^{ikx}$ -- обозначим $N-$ю частичную сумму ряда из первого поста.

Так вот данный ряд сходится в следующем смысле. Для любой функции $\psi(x)\in\mathcal{D}$ числовая последовательность
$\int_{-\pi}^{\pi}s_N(x)\psi(x)dx$ сходится и сходится она к $\psi(0)$.
(Проверьте это, разложив $\psi$ в ряд Фурье.)

Такая сходимость называется слабой сходимостью или сходимостью в смысле обобщенных функций.

Вообще, обобщенной функцией называется линейная (и непрерывная в некотором смысле) функция на линейном пространстве $\mathcal{D}$. Например, $\delta$ это обобщенная функция. По определению, она действует на функции $\psi(x)\in \mathcal{D}$ по правилу $\delta(\psi)=\psi(0)$.
Вот мы и доказали, что в слабом смысле наш ряд сходится к обобщенной функции $\delta$.

[Pupkin]

Понял. Большое спасибо. Надо будет еще основательно помедитировать над этим всем. Ну и перепроверить, разложить это все дело в ряд Фурье, но это уже завтра. Спасибо

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #767492 писал(а):

последовательность
$\int_{-\pi}^{\pi}s_N(x)\psi(x)dx$ сходится и сходится она к $\psi(0)$.
(Проверьте это, разложив $\psi$ в ряд Фурье.)

(предварительно проверив, что эта последовательность сходится именно к этому, из чего действительно следует ряд Фурье, а значит, и сходимость последовательности и, следовательно, ряда Фурье)

[Oleg Zubelevich]

Еще надо отметить, не вдаваясь в подробности, что полученная нами $\delta$-функция определена именно на окружности. Если данный ряд рассматривать как обобщенную функцию на прямой $\mathbb{R}$ то он слабо сходится не к $\delta$-функции, а к другой обобщенной функции, которая является бесконечной суммой $\delta$ функций. Пространство $\mathcal{D}$ при этом выбирается иначе.

[Pupkin]

Попробовав разложение в ряд Фурье. Вышло такое:
$1/2\pi\int_{-\pi}^{\pi}(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx})1/(2\pi)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}\psi(x)e^{-inx}dx)dx$
Не знаю как продолжить именно через разложение по Фурье. Я помню об определении дельты на окружности, о периодичности, но все равно без идей.
Как получить $\psi(0)$ не вижу.