Вот именно, предела нет. Ряд расходится для почти всех

.
Для определенности положим

Через

обозначим множество бесконечно гладких

периодических функций

. Правильнее считать, что такие функции определены на окружности длины

.
Через

-- обозначим

ю частичную сумму ряда из первого поста.
Так вот данный ряд сходится в следующем смысле. Для любой функции

числовая последовательность

сходится и сходится она к

.
(Проверьте это, разложив

в ряд Фурье.)
Такая сходимость называется слабой сходимостью или сходимостью в смысле обобщенных функций.
Вообще, обобщенной функцией называется линейная (и непрерывная в некотором смысле) функция на линейном пространстве

. Например,

это обобщенная функция. По определению, она действует на функции

по правилу

.
Вот мы и доказали, что в слабом смысле наш ряд сходится к обобщенной функции

.