Теория множеств

[Keter]

1) Докажите, что любое непустое замкнутое множество $A \subset \mathbb{R}$ без изолированных точек имеет мощность континуума.

2) Какова мощность множества всех монотонных функций с действительными аргументами и значениями?

3) Какова мощность множества всех непрерывных функций с действительными аргументами и значениями?

2) Достаточно рассмотреть $f_{\alpha}(x)=k, k \in \mathbb{R},$ потому что $\alpha$ таких непрерывных функций - континуум.

3) Заметим, что любая монотонная функция разбивается на не более, чем счётное число непрерывных функций, которых всего континуум. Значит монотонных функций тоже континуум.

Помогите с (1). Подумал над 2-3, всё ли правильно?

[gris]

1. Это Бэровские дела. 2-3. Тут задача в том, чтобы не выскочить за мощность континуума. Мощность множества всех функций будет больше мощности континуума. Ограничения в виде монотонности и непрерывности эту мощность уменьшают.

[mihailm]

1) Вроде было тут.
см. Натансон И.П. - Теория функций вещественной переменной
Последний параграф второй главы.