Эквивалентность множеств функций

[Manticore]

Здравствуйте. Есть вот такая задача: $A^B$ - множество всех функций из $B$ в $A$. Доказать, что $(A^B)^C \sim A^{B\times C} \sim (A^C)^B$
Сначала я почему-то подумал, что это конечные множества, и как бы доказал их равномощность через количество "элементов" - всевозможных вариантов функциональных отношений. Получил везде одинаковые значения. Но ведь множества могут быть и не конечными.
Тогда так: $(A^B)^C : C \longrightarrow B \longrightarrow A$ Получается, для $C \longrightarrow B$ можно составить упорядоченные пары $<c_1, b_1>$, $<c_1, b_2>, ...$ Нарисовал квадрат, где по горизонтали были элементы из $B$, по вертикали - из $C$. Его площадь равна $|B| \cdot |C|$, что не подойдёт для конечных множеств, а значит - вообще ошибочно.
Что не так?

[Tookser]

Это вы нарисовали декартово произведение. Одна функция есть набор клеток из декартова квадрата такой, что из каждого столбца и каждой строки взята ровно одна клетка.

[provincialka]

А зачем вам площадь? Эквивалентность множеств проверяется тем, что между ними устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

[Manticore]

Tookser
Спасибо, исправил.

provincialka в сообщении #766681 писал(а):

А зачем вам площадь?

Ну вот у меня получилось, что множество функций из $C$ в $B$ имеет мощность $|B|^{|C|}$.
Дальше так же для $A$, и мощность всего множества равна $|B|^{|C| \cdot |A|}$

Для остальных двух вариантов выходит то же самое значение, т.е. все они равномощны, и значит можно построить биекцию. Но я так полагаю, что этого совсем недостаточно?

[Someone]

По-моему, там биекции элементарно строятся.

[Manticore]

$C \xrightarrow{f_1} B \xrightarrow{g_1} A$
$B \xrightarrow{f_2} C \xrightarrow{h_1} A$
Может быть, тогда надо доказать, что $f_1$ и $f_2$ - тождественные отображения, а $g_1$ - это $h_{1}f_2$?
Вероятно, бред написал, но ведь примерно как-то так, получается, нужно делать.

[Xaositect]

Эти биекции, кстати, фундаментальны в функциональном программировании. Называется это штука "каррирование".

А для того, чтобы их построить, для начала объясните своими словами, а что такое элемент множества $(A^B)^C$

[Manticore]

Xaositect в сообщении #766700 писал(а):

А для того, чтобы их построить, для начала объясните своими словами, а что такое элемент множества $(A^B)^C$

Элемент этого множества - композиция функций, переводящая $C$ в $A$, как мне кажется.

[Xaositect]

Manticore в сообщении #766703 писал(а):

Элемент этого множества - композиция функций, переводящая $C$ в $A$, как мне кажется.

Нет (либо я Вас неправильно понимаю).

Давайте по-порядку.
Что является элементами множества $A^B$?

[Manticore]

Элемент множества $A^B$ - это функция из $B$ в $A$, т.е. функция, которая переводит какое-то $b_1$ в $a_i$.

[Xaositect]

Правильно.
А теперь $(A^B)^C$. Это тоже множество каких то функций. Откуда куда?

[Manticore]

Множество функций из $C$ во множество функций из $B$ в $A$? Ну то есть получается композиция, переводящая $C$ в $A$?

[Xaositect]

Что Вы называете композицией и куда в результате делось $B$?

[Someone]

Ну почему вдруг композиция-то. Совсем на композицию не похоже.
После трёх предыдущих сообщений — и вдруг "композиция".

[Manticore]

Xaositect в сообщении #766711 писал(а):

Что Вы называете композицией и куда в результате делось $B$?

Композиция - это когда одна функция применяется к результату другой. То есть я думал, что получается так:
$C \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} A$
И какое-то $c$ переводится в $a$ в итоге. Как бы транзитивность, может быть.