2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 18:11 
Здравствуйте. Есть вот такая задача: $A^B$ - множество всех функций из $B$ в $A$. Доказать, что $(A^B)^C \sim A^{B\times C} \sim (A^C)^B$
Сначала я почему-то подумал, что это конечные множества, и как бы доказал их равномощность через количество "элементов" - всевозможных вариантов функциональных отношений. Получил везде одинаковые значения. Но ведь множества могут быть и не конечными.
Тогда так: $(A^B)^C : C \longrightarrow B \longrightarrow A$ Получается, для $C \longrightarrow B$ можно составить упорядоченные пары $<c_1, b_1>$, $<c_1, b_2>, ...$ Нарисовал квадрат, где по горизонтали были элементы из $B$, по вертикали - из $C$. Его площадь равна $|B| \cdot |C|$, что не подойдёт для конечных множеств, а значит - вообще ошибочно.
Что не так?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 18:17 
Это вы нарисовали декартово произведение. Одна функция есть набор клеток из декартова квадрата такой, что из каждого столбца и каждой строки взята ровно одна клетка.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 18:26 
Аватара пользователя
А зачем вам площадь? Эквивалентность множеств проверяется тем, что между ними устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 18:36 
Tookser
Спасибо, исправил.
provincialka в сообщении #766681 писал(а):
А зачем вам площадь?

Ну вот у меня получилось, что множество функций из $C$ в $B$ имеет мощность $|B|^{|C|}$.
Дальше так же для $A$, и мощность всего множества равна $|B|^{|C| \cdot |A|}$

Для остальных двух вариантов выходит то же самое значение, т.е. все они равномощны, и значит можно построить биекцию. Но я так полагаю, что этого совсем недостаточно?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 18:39 
Аватара пользователя
По-моему, там биекции элементарно строятся.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:05 
$C \xrightarrow{f_1} B \xrightarrow{g_1} A$
$B \xrightarrow{f_2} C \xrightarrow{h_1} A$
Может быть, тогда надо доказать, что $f_1$ и $f_2$ - тождественные отображения, а $g_1$ - это $h_{1}f_2$?
Вероятно, бред написал, но ведь примерно как-то так, получается, нужно делать.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:11 
Аватара пользователя
Эти биекции, кстати, фундаментальны в функциональном программировании. Называется это штука "каррирование".

А для того, чтобы их построить, для начала объясните своими словами, а что такое элемент множества $(A^B)^C$

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:18 
Xaositect в сообщении #766700 писал(а):
А для того, чтобы их построить, для начала объясните своими словами, а что такое элемент множества $(A^B)^C$

Элемент этого множества - композиция функций, переводящая $C$ в $A$, как мне кажется.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:20 
Аватара пользователя
Manticore в сообщении #766703 писал(а):
Элемент этого множества - композиция функций, переводящая $C$ в $A$, как мне кажется.
Нет (либо я Вас неправильно понимаю).

Давайте по-порядку.
Что является элементами множества $A^B$?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:24 
Элемент множества $A^B$ - это функция из $B$ в $A$, т.е. функция, которая переводит какое-то $b_1$ в $a_i$.

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:25 
Аватара пользователя
Правильно.
А теперь $(A^B)^C$. Это тоже множество каких то функций. Откуда куда?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:28 
Множество функций из $C$ во множество функций из $B$ в $A$? Ну то есть получается композиция, переводящая $C$ в $A$?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:29 
Аватара пользователя
Что Вы называете композицией и куда в результате делось $B$?

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:31 
Аватара пользователя
Ну почему вдруг композиция-то. Совсем на композицию не похоже.
После трёх предыдущих сообщений — и вдруг "композиция".

 
 
 
 Re: Эквивалентность множеств функций
Сообщение22.09.2013, 19:40 
Xaositect в сообщении #766711 писал(а):
Что Вы называете композицией и куда в результате делось $B$?

Композиция - это когда одна функция применяется к результату другой. То есть я думал, что получается так:
$C \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} A$
И какое-то $c$ переводится в $a$ в итоге. Как бы транзитивность, может быть.

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group