можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)?
Можно (правда, арифметику я не проверял); но вот как Вы умудрились получить случай (а) -- полнейшая загадка.
На счет случая (а), почему загадка? есть уравнение, в нем 3 сомножителя (как раз 3 случая), все из них я приравнял к нулю, собственно первый и есть случай (а):

Дальше проинтегрировал обе части

Ну и понятно, что это не удовлетворяет граничным условиям.
Непонятно, что смутило именно в случае (а)? Он получен также как и случаи (b), (c).
Но там нет дельта-функции.

плавно переходит от 0 к 1, не выходя за эти пределы. А сама область перехода делается сколь угодно малой.
Вообще, это вырожденная задача, и её не надо было даже и пытаться решать методами вариационного исчисления.
А как решать? Вернее вопрос скорее такой: имеете ввиду, что мое решение верное, просто можно решить проще, либо оно неверное, в таком случае с помощью чего решать?