2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти экстремаль функционала
Сообщение20.09.2013, 21:19 


17/12/12
20
Здравствуйте.

Пытаюсь разобраться с задачами на поиск экстремали функционалов.

Собственно задача:
$I[x(t)] = \int_{0}^{4}\dot{x}^2(\dot{x}-1)^2dt \to extr, x(0) = 0, x(4) = 2$

Мое решение:
$F_x = 0$
$F_{\dot{x}} = 2\dot{x}(\dot{x} - 1)^2 + 2\dot{x}^2(\dot{x}-1)$
$\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial t} = 2\ddot{x}(\dot{x}-1)^2 + 2\ddot{x}(\dot{x}-1)\dot{x} + 4\dot{x}\ddot{x}(\dot{x} - 1) + 2\dot{x}^2\ddot{x} =$
$= 2\dot{x}\ddot{x}(3\dot{x} + \frac{1}{\dot{x}} - 3)$
$\dot{x}\ddot{x}(3\dot{x} + \frac{1}{\dot{x}} - 3) = 0$
$a) \dot{x} = 0$
$x(t) = C$
(не удовлетворяет граничным условиям)
$b)\ddot{x}=0$
$x(t) = C_1t+C_2$
$c)3\dot{x}-3\dot{x}+1=0$
$x(t) = \frac{3 \pm \sqrt{3}i}{6} + C$
(включается в семейство: $x(t) = C_1t+C_2$)
Подставим граничные условия:
$1) С_2 = 0$
$2) 4С_1 + С_2 = 0$
$С_1 = \frac{1}{2}$
Ответ: $x^*(t) = \frac{1}{2}t$

Вопрос: правильно ли решено? Особенно интересует, можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)? Если нет, то как действовать?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение20.09.2013, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591

(Оффтоп)

Ваше решение не осилил.
А если взять решение $x(t)=0$ для $t<2$ и $x(t)=t-2$ для $t>2$. На стыке сгладить последовательностью парабол. Получим последовательность сходящуюся к нулю, что есть минимум. Что как-бы намекает, что на экстремали абсолютный минимум может и не достигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение21.09.2013, 05:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
madd123 в сообщении #765940 писал(а):
можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)?

Можно (правда, арифметику я не проверял); но вот как Вы умудрились получить случай (а) -- полнейшая загадка.

мат-ламер в сообщении #765946 писал(а):
На стыке сгладить последовательностью парабол. Получим последовательность сходящуюся к нулю

Дельта-функция -- это как бы всё-таки не совсем ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение21.09.2013, 09:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Но там нет дельта-функции. $\dot x$ плавно переходит от 0 к 1, не выходя за эти пределы. А сама область перехода делается сколь угодно малой.
Вообще, это вырожденная задача, и её не надо было даже и пытаться решать методами вариационного исчисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение21.09.2013, 10:23 


17/12/12
20
ewert в сообщении #766056 писал(а):
madd123 в сообщении #765940 писал(а):
можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)?

Можно (правда, арифметику я не проверял); но вот как Вы умудрились получить случай (а) -- полнейшая загадка.

На счет случая (а), почему загадка? есть уравнение, в нем 3 сомножителя (как раз 3 случая), все из них я приравнял к нулю, собственно первый и есть случай (а):
$\dot{x} = 0$
Дальше проинтегрировал обе части
$x(t) = C$
Ну и понятно, что это не удовлетворяет граничным условиям.

Непонятно, что смутило именно в случае (а)? Он получен также как и случаи (b), (c).

ИСН в сообщении #766094 писал(а):
Но там нет дельта-функции. $\dot x$ плавно переходит от 0 к 1, не выходя за эти пределы. А сама область перехода делается сколь угодно малой.
Вообще, это вырожденная задача, и её не надо было даже и пытаться решать методами вариационного исчисления.

А как решать? Вернее вопрос скорее такой: имеете ввиду, что мое решение верное, просто можно решить проще, либо оно неверное, в таком случае с помощью чего решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение21.09.2013, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
madd123 в сообщении #766101 писал(а):
А как решать?

Надо уточнить постановку задачи. Если в постановке так и написано, что найти экстремали (в смысле решение уравнения Эйлера-Лагранжа), то ответ у Вас верный. Я решал по-другому. Если $F$ не зависит от $x$, то $F_{\dot x}=C$. Отсюда $x(t)$ линейная функция, что совпадает с Вашим ответом (но я мог напутать). Но такая постановка не естественна для этой задачи. Если постановка задачи состоит в решении вариационной задачи, то читайте предыдущие посты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 11:14 


17/12/12
20
А как решать такую задачу?
$I=\int_0^1 \dot{x}(\dot{x}-t)dt \to extr$
И все, больше вообще ничего не дано.

Вышло, что ур-е Эйлера:
$\ddot{x} = \frac{1}{2}$
И, соответственно:
$\dot{x} = \frac{1}{2}t + C_1$
$x(t) = \frac{1}{4}t^2 + C_1t + C_2$

Ищу условия трансверсальности:
$F_{\dot{x}}|_{t=0} = 2\dot{x}(0) = 0, \dot{x}(0) = 0$
$F_{\dot{x}}|_{t=1} = \dot{x}(1) = \frac{1}{2}$

Оба условия мне дают $C_1 = 0$
И никакой информации о $C_2$, так как ее в-принципе нет в производной $\dot{x}$, в интернете и учебниках есть примеры, где $C_2$ в производной есть (там комплексные корни и выходит синус $+$ косинус, соотв. $C_2$ в производной остается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Смотрите, но ведь это тоже вырожденная задача, здесь вообще не нужно вариационное исчисление. Когда оно бывает нужно? Когда у нас как-то увязаны в функционале сама функция и производная: потянешь за одно, а другое тоже меняется. А тут-то нет! Тут мы можем тупо при каждом конкретном t задаться вопросом: где и какой экстремум у выражения $\xi(\xi-t)$? Да уж ясно: минимум при $\xi={t\over2}$. Ну вот таким и сделаем $\dot x$ в этой точке. В каждой точке так сделаем. Вот и ответ.

-- менее минуты назад --

Отсутствие информации о $C_2$ тоже объяснимо. Как бы это намекнуть. До вариационного исчисления обычно проходят, как искать экстремумы обычных функций от одной или нескольких переменных. Производные там и все дела. Вы же можете найти минимум функции $x^2+y^2$? Можете: в результате будут конкретный $x$ и конкретный $y$. Ладно, а вот такой функции: $(x-y)^2$? Можно найти минимум? Конкретный? Да? Нет? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 11:44 


17/12/12
20
То, что
$\dot{x} = \frac{t}{2}$
вроде и в моем решении выяснилось, но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять? Ведь, если проинтегрировать, все равно получается константа, которую надо как-то найти. В любом случае, от меня требуют это решить с помощью вариационного исчисления, поэтому и пытаюсь, но не выходит..

-- 22.09.2013, 12:49 --

ИСН в сообщении #766543 писал(а):

Отсутствие информации о $C_2$ тоже объяснимо. Как бы это намекнуть. До вариационного исчисления обычно проходят, как искать экстремумы обычных функций от одной или нескольких переменных. Производные там и все дела. Вы же можете найти минимум функции $x^2+y^2$? Можете: в результате будут конкретный $x$ и конкретный $y$. Ладно, а вот такой функции: $(x-y)^2$? Можно найти минимум? Конкретный? Да? Нет? Почему?

В $(x-y)^2$ стационарную точку найти не вышло, т.к. там выходит:
$2x = 2y$
$2y = 2x$

Тогда как, при $x^2 + y^2$ она в $(0;0)$

Но как это поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
madd123 в сообщении #766546 писал(а):
но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять?

А если ответ будет дан с точностью до константы, это Вас смутит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 12:45 


17/12/12
20
мат-ламер в сообщении #766549 писал(а):
madd123 в сообщении #766546 писал(а):
но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять?

А если ответ будет дан с точностью до константы, это Вас смутит?

Меня - нет, вопрос в правильности и доведении решения до конца, то есть, если найти $C_2$ нельзя, то это надо как-то обосновать, вопрос и в этом в том числе (если нельзя).

Я так понимаю, ответ:
$x(t) = \frac{1}{4}t^2 + C$
Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
madd123 в сообщении #766552 писал(а):
Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

Заметьте, что интегрант зависит чисто от производной ( а не от самой функции) и краевых условий нет. Это как-бы намекает. И в дополнение. Это Вы нашли минимум. Покажите, что максимума не существует.

-- Вс сен 22, 2013 14:06:37 --

madd123 в сообщении #766552 писал(а):
Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

А попробуйте Ваше решение подставьте в задачу. Ну и что там с константой произойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремаль функционала
Сообщение22.09.2013, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
madd123 в сообщении #766546 писал(а):
В $(x-y)^2$ стационарную точку найти не вышло, т.к. там выходит:
$2x = 2y$
$2y = 2x$

Тогда как, при $x^2 + y^2$ она в $(0;0)$

Но как это поможет?
Да никак не поможет, просто аналогия. Единственную точку минимума найти не получается, потому что... (почему?); та же ситуация у Вас: единственную функцию, реализующую минимум функционала, найти не получается, потому что...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group