Найти экстремаль функционала

[madd123]

Здравствуйте.

Пытаюсь разобраться с задачами на поиск экстремали функционалов.

Собственно задача:
$I[x(t)] = \int_{0}^{4}\dot{x}^2(\dot{x}-1)^2dt \to extr, x(0) = 0, x(4) = 2$

Мое решение:
$F_x = 0$
$F_{\dot{x}} = 2\dot{x}(\dot{x} - 1)^2 + 2\dot{x}^2(\dot{x}-1)$
$\frac{\partial F_{\dot{x}}}{\partial t} = 2\ddot{x}(\dot{x}-1)^2 + 2\ddot{x}(\dot{x}-1)\dot{x} + 4\dot{x}\ddot{x}(\dot{x} - 1) + 2\dot{x}^2\ddot{x} =$
$= 2\dot{x}\ddot{x}(3\dot{x} + \frac{1}{\dot{x}} - 3)$
$\dot{x}\ddot{x}(3\dot{x} + \frac{1}{\dot{x}} - 3) = 0$
$a) \dot{x} = 0$
$x(t) = C$
(не удовлетворяет граничным условиям)
$b)\ddot{x}=0$
$x(t) = C_1t+C_2$
$c)3\dot{x}-3\dot{x}+1=0$
$x(t) = \frac{3 \pm \sqrt{3}i}{6} + C$
(включается в семейство: $x(t) = C_1t+C_2$)
Подставим граничные условия:
$1) С_2 = 0$
$2) 4С_1 + С_2 = 0$
$С_1 = \frac{1}{2}$
Ответ: $x^*(t) = \frac{1}{2}t$

Вопрос: правильно ли решено? Особенно интересует, можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)? Если нет, то как действовать?

Спасибо.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Ваше решение не осилил.

А если взять решение $x(t)=0$ для $t<2$ и $x(t)=t-2$ для $t>2$. На стыке сгладить последовательностью парабол. Получим последовательность сходящуюся к нулю, что есть минимум. Что как-бы намекает, что на экстремали абсолютный минимум может и не достигаться.

[ewert]

madd123 в сообщении #765940 писал(а):

можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)?

Можно (правда, арифметику я не проверял); но вот как Вы умудрились получить случай (а) -- полнейшая загадка.

мат-ламер в сообщении #765946 писал(а):

На стыке сгладить последовательностью парабол. Получим последовательность сходящуюся к нулю

Дельта-функция -- это как бы всё-таки не совсем ноль.

[ИСН]

Но там нет дельта-функции. $\dot x$ плавно переходит от 0 к 1, не выходя за эти пределы. А сама область перехода делается сколь угодно малой.
Вообще, это вырожденная задача, и её не надо было даже и пытаться решать методами вариационного исчисления.

[madd123]

ewert в сообщении #766056 писал(а):

madd123 в сообщении #765940 писал(а):

можно ли тут сказать, что случай (c) включается в семейство (b)?

Можно (правда, арифметику я не проверял); но вот как Вы умудрились получить случай (а) -- полнейшая загадка.

На счет случая (а), почему загадка? есть уравнение, в нем 3 сомножителя (как раз 3 случая), все из них я приравнял к нулю, собственно первый и есть случай (а):
$\dot{x} = 0$
Дальше проинтегрировал обе части
$x(t) = C$
Ну и понятно, что это не удовлетворяет граничным условиям.

Непонятно, что смутило именно в случае (а)? Он получен также как и случаи (b), (c).

ИСН в сообщении #766094 писал(а):

Но там нет дельта-функции. $\dot x$ плавно переходит от 0 к 1, не выходя за эти пределы. А сама область перехода делается сколь угодно малой.
Вообще, это вырожденная задача, и её не надо было даже и пытаться решать методами вариационного исчисления.

А как решать? Вернее вопрос скорее такой: имеете ввиду, что мое решение верное, просто можно решить проще, либо оно неверное, в таком случае с помощью чего решать?

[мат-ламер]

madd123 в сообщении #766101 писал(а):

А как решать?

Надо уточнить постановку задачи. Если в постановке так и написано, что найти экстремали (в смысле решение уравнения Эйлера-Лагранжа), то ответ у Вас верный. Я решал по-другому. Если $F$ не зависит от $x$, то $F_{\dot x}=C$. Отсюда $x(t)$ линейная функция, что совпадает с Вашим ответом (но я мог напутать). Но такая постановка не естественна для этой задачи. Если постановка задачи состоит в решении вариационной задачи, то читайте предыдущие посты.

[madd123]

А как решать такую задачу?
$I=\int_0^1 \dot{x}(\dot{x}-t)dt \to extr$
И все, больше вообще ничего не дано.

Вышло, что ур-е Эйлера:
$\ddot{x} = \frac{1}{2}$
И, соответственно:
$\dot{x} = \frac{1}{2}t + C_1$
$x(t) = \frac{1}{4}t^2 + C_1t + C_2$

Ищу условия трансверсальности:
$F_{\dot{x}}|_{t=0} = 2\dot{x}(0) = 0, \dot{x}(0) = 0$
$F_{\dot{x}}|_{t=1} = \dot{x}(1) = \frac{1}{2}$

Оба условия мне дают $C_1 = 0$
И никакой информации о $C_2$, так как ее в-принципе нет в производной $\dot{x}$, в интернете и учебниках есть примеры, где $C_2$ в производной есть (там комплексные корни и выходит синус $+$ косинус, соотв. $C_2$ в производной остается).

[ИСН]

Смотрите, но ведь это тоже вырожденная задача, здесь вообще не нужно вариационное исчисление. Когда оно бывает нужно? Когда у нас как-то увязаны в функционале сама функция и производная: потянешь за одно, а другое тоже меняется. А тут-то нет! Тут мы можем тупо при каждом конкретном t задаться вопросом: где и какой экстремум у выражения $\xi(\xi-t)$? Да уж ясно: минимум при $\xi={t\over2}$. Ну вот таким и сделаем $\dot x$ в этой точке. В каждой точке так сделаем. Вот и ответ.

-- менее минуты назад --

Отсутствие информации о $C_2$ тоже объяснимо. Как бы это намекнуть. До вариационного исчисления обычно проходят, как искать экстремумы обычных функций от одной или нескольких переменных. Производные там и все дела. Вы же можете найти минимум функции $x^2+y^2$? Можете: в результате будут конкретный $x$ и конкретный $y$. Ладно, а вот такой функции: $(x-y)^2$? Можно найти минимум? Конкретный? Да? Нет? Почему?

[madd123]

То, что
$\dot{x} = \frac{t}{2}$
вроде и в моем решении выяснилось, но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять? Ведь, если проинтегрировать, все равно получается константа, которую надо как-то найти. В любом случае, от меня требуют это решить с помощью вариационного исчисления, поэтому и пытаюсь, но не выходит..

-- 22.09.2013, 12:49 --

ИСН в сообщении #766543 писал(а):

Отсутствие информации о $C_2$ тоже объяснимо. Как бы это намекнуть. До вариационного исчисления обычно проходят, как искать экстремумы обычных функций от одной или нескольких переменных. Производные там и все дела. Вы же можете найти минимум функции $x^2+y^2$? Можете: в результате будут конкретный $x$ и конкретный $y$. Ладно, а вот такой функции: $(x-y)^2$? Можно найти минимум? Конкретный? Да? Нет? Почему?

В $(x-y)^2$ стационарную точку найти не вышло, т.к. там выходит:
$2x = 2y$
$2y = 2x$

Тогда как, при $x^2 + y^2$ она в $(0;0)$

Но как это поможет?

[мат-ламер]

madd123 в сообщении #766546 писал(а):

но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять?

А если ответ будет дан с точностью до константы, это Вас смутит?

[madd123]

мат-ламер в сообщении #766549 писал(а):

madd123 в сообщении #766546 писал(а):

но вот ответ от меня требуют $x(t) = ...$, а где его взять?

А если ответ будет дан с точностью до константы, это Вас смутит?

Меня - нет, вопрос в правильности и доведении решения до конца, то есть, если найти $C_2$ нельзя, то это надо как-то обосновать, вопрос и в этом в том числе (если нельзя).

Я так понимаю, ответ:
$x(t) = \frac{1}{4}t^2 + C$
Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

[мат-ламер]

madd123 в сообщении #766552 писал(а):

Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

Заметьте, что интегрант зависит чисто от производной ( а не от самой функции) и краевых условий нет. Это как-бы намекает. И в дополнение. Это Вы нашли минимум. Покажите, что максимума не существует.

-- Вс сен 22, 2013 14:06:37 --

madd123 в сообщении #766552 писал(а):

Но в решении тогда, наверное, нужно написать что-то о том, почему нельзя найти $C_2$

А попробуйте Ваше решение подставьте в задачу. Ну и что там с константой произойдёт?

[ИСН]

madd123 в сообщении #766546 писал(а):

В $(x-y)^2$ стационарную точку найти не вышло, т.к. там выходит:
$2x = 2y$
$2y = 2x$

Тогда как, при $x^2 + y^2$ она в $(0;0)$

Но как это поможет?

Да никак не поможет, просто аналогия. Единственную точку минимума найти не получается, потому что... (почему?); та же ситуация у Вас: единственную функцию, реализующую минимум функционала, найти не получается, потому что...