Отказ от Аксиомы полноты.

[hedgehogues]

Наверное, многие меня за это побьют, за то, что я буду писать тут (возможно даже ногами). Но все-таки, вопрос появился и я начал в нем разбираться, ибо ответа я на него не могу не от кого получить.

Изначально проблема стояла в следующем: можно ли представить комплексное число, как нечто непохожее на общее представление о них, т.е. не как две линейно независимые части? В традиционном понимании вещественного числа этого сделать видимо нельзя.
Я решил пойти от определения иррационального числа по Дедекинду.
Всем понятно, что здесь под этим подразумевается. Возник вопрос: как задать множество всех иррациональных чисел по дедекинду. Т.е., иными словами: как задать множество всех сечений в поле рациональных чисел, которые определяют иррациональные числа? Можно ли это сделать, нет? На этот вопрос я пока что не дал себе ответа. Может быть кто подскажет?
Здесь все упирается в аксиому полноты. Складывается впечатление, что мы вовсе не можем задать такое множество, ибо в любой окрестности числа, которое задано таким сечением, есть некоторое другое число, к которому непонятно как можно перейти. Тогда, что есть множество рациональных чисел по дедекинду?
И здесь возникает мысль отказаться от аксиомы полноты.
Факт в том, что, коли мы откажемся от нее, мы сможем задать некоторое сечение в поле рациональных чисел, которое будет определять число из некоторого большего множества, чем рациональные. Возникает вопрос: что это за множество?
Параллельно с этим появляется еще несколько вопросов: какие функции у нас тогда есть в распоряжении? Видимо, только элементарные... Если есть иные, то приведите пример пожалуйста.
Если считать, что мы используем только элементарные функции, то видимо нельзя выйти за пределы подразумевающегося нами множества "иррациональных чисел" (специально взял в кавычки, т.к. это не совсем иррациональные числа.). Более того, тогда, видимо, существуют сечения, которые задают комплексные числа в поле "иррациональных чисел".

Ну, вот как-то так... На самом деле, пришел к несколько более катастрофическим результатам, которые противоречат многому в моем понимании анализа, да и в понимании анализа с современной точки зрения. Но боюсь об этом писать, ибо мало того, что побьют, так еще помидорами и яйцами закидаютъ.

Видимо, я рассматриваю какую-то топологию. Но я в этом практически не смыслю.

P.s. Пожалуйста, напишите по существа. Не нужно холивара.

[Oleg Zubelevich]

надо просто как следует разобраться в определении действительного числа

[hedgehogues]

В том-то и дело, что я пытаюсь разобраться, да вот натыкаюсь на то, что не определяется понятие множества действительных числе по Дедекинду.

[Oleg Zubelevich]

Ну Фихтенгольца хотя бы откройте

[hedgehogues]

Ну, емае... Неужели Вы думаете, что я этим не занимался!? Он постоянно лежит открытым.
Я, конечно, иногда могу чего-то не увидеть. Собственно, поэтому я и обращаюсь сюда, за помощью: потому что я не вижу ответа в доступных мне источниках.

[Oleg Zubelevich]

Для начала сформулируйте один вопрос коротко и внятно

[Xaositect]

Я плохо понимаю, в чем у Вас проблема.

Множество действительных чисел по Дедекинду строится на основе множества рациональных чисел. То есть вот есть у нас множество $\mathbb{Q}$. Оно у нас раньше как-то построено, из натуральных. Мы берем и называем действительным числом сечение множества рациональных, то есть разбиение множества $\mathbb{Q}$, которое удовлетворяет каким-то там условиям. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ --- это множество всех таких разбиений. Если хочется, тут можно формулу теории множеств написать, типа $\mathbb{R} = \{x\in 2^{\mathbb{Q}}\times 2^{\mathbb{Q}} | \dots\}$А дальше на этом множестве мы вводим операции сложения-умножения и доказываем, что оно является полем, существует вложение $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$ и выполняются разные другие аксиомы, упорядоченность там, архимедовость, полнота и т.п.

[Oleg Zubelevich]

Если угодно множество $\mathbb{R}$ состоит из пар $(A,A')$ где множества $A,A'\subseteq\mathbb{Q}$ таковы, что
для любого $x\in A$ и $x'\in A'$ верно неравенство $x\le x'$ и пересечение $A\cap A'$ пусто; и любое рациональное число находится либо в $A$ либо в $A'$

[hedgehogues]

Oleg Zubelevich в сообщении #766456 писал(а):

Если угодно множество $\mathbb{R}$ состоит из пар $(A,A')$ где множества $A,A'\subseteq\mathbb{Q}$ таковы, что
для любого $x\in A$ и $x'\in A'$ верно неравенство $x\le x'$ и пересечение $A\cap A'$ пусто; и любое рациональное число находится либо в $A$ либо в $A'$

Как доказать, исходя из Вашего определения, что нельзя сделать ни одного сечения в таком множестве (т.е. что оно полно)?

-- 22.09.2013, 01:10 --

Xaositect в сообщении #766450 писал(а):

Я плохо понимаю, в чем у Вас проблема.

Множество действительных чисел по Дедекинду строится на основе множества рациональных чисел. То есть вот есть у нас множество $\mathbb{Q}$. Оно у нас раньше как-то построено, из натуральных. Мы берем и называем действительным числом сечение множества рациональных, то есть разбиение множества $\mathbb{Q}$, которое удовлетворяет каким-то там условиям. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ --- это множество всех таких разбиений. Если хочется, тут можно формулу теории множеств написать, типа $\mathbb{R} = \{x\in 2^{\mathbb{Q}}\times 2^{\mathbb{Q}} | \dots\}$А дальше на этом множестве мы вводим операции сложения-умножения и доказываем, что оно является полем, существует вложение $\mathbb{Q}$ в $\mathbb{R}$ и выполняются разные другие аксиомы, упорядоченность там, архимедовость, полнота и т.п.

Окай, спасибо за задание множества.
Но, что вот это такое: $\mathbb{R} = \{x\in 2^{\mathbb{Q}}\times 2^{\mathbb{Q}} | \dots\}$ ?

0. Можно ли представить комплексное число, как-то по-другому?
1. Можно ли отказаться от аксиомы полноты? Что произойдет?
2. Можно ли сделать сечение в области рациональных числе без аксиомы полноты? Что за множество сечений мы получим?
3. Можно ли в множестве из п. 2 сделать еще сечение? Что получится за множество?
4. До каких пор можно строить множества сечений таким образом?
5. Какие функции можно использовать в данных сечениях? Можно ли что-то использовать помимо элементарных функций (приведите пример)?

[Oleg Zubelevich]

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

, что нельзя сделать ни одного сечения в таком множестве (т.е. что оно полно)?

не понял, в каком таком множестве?

[hedgehogues]

Во множестве пар, которое Вы указали. Ведь каждая пара определяет некоторое вещественное число, в таком случае закономерен вопрос: можно ли между ними впихнуть еще одно число, которое не принадлежит данному множеству пар?

[Someone]

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

Как доказать, исходя из Вашего определения, что нельзя сделать ни одного сечения в таком множестве

Как нельзя? Сколько угодно: каждое действительное число определяет сечение. Более интересно, что других нет.

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

т.е. что оно полно

Полнота — это совсем другое.

Oleg Zubelevich в сообщении #766461 писал(а):

не понял, в каком таком множестве?

Я понял так, что в только что построенном множестве сечений.

[Xaositect]

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

Окай... Только, что здесь понимается под $x\in 2^{\mathbb{Q}}\times 2^{\mathbb{Q}}$ ?

Это значит, что $x$ --- пара множеств рациональных чисел.

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

Вопросы следующие

У Вас какая-то путаница, либо мы разную аксиому полноты имеем в виду, либо Вы путаете аксиоматическое определение действительных чисел с построением по Дедекинду.

Аксиома полноты в поле рациональных чисел не выполняется.
Конструкция сечений Дедекинда придумана специально для того, чтобы в поле, которое является результатом этой конструкции, аксиома полноты выполнялась.
Что вы имеете в виду под "отказаться от аксиомы полноты"? Для этого надо придумать какую-нибудь новую конструкцию. Вполне возможно, что можно придумать какую-нибудь конструкцию в результате которой получится сразу $\mathbb{C}$. Я такой не знаю.

Можно, например, взять конструкцию алгебраического замыкания. В результате этой конструкции из рациональных чисел получится поле, в котором будет $i$ такое, что $i^2 = -1$. Зато не будет $e$ такого, что $\forall \epsilon \exists n |(1 + \frac{1}{n})^n - e| < \epsilon$. Может быть, Вы что-то типа этого имеете в виду под отказом от полноты?

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

3. Какие функции мы можем использовать во множестве "рациональных чисел" помимо элементарных? Существуют ли вообще какие-нибудь функции в таком множестве, помимо элементарных?

Какие захотим, такие и можем. Можем рассматривать полиномы. Множество рациональных чисел счетно, можем рассматривать вычислимые функции. Можем вообще все рассматривать.

[hedgehogues]

Someone в сообщении #766464 писал(а):

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

Как доказать, исходя из Вашего определения, что нельзя сделать ни одного сечения в таком множестве

Как нельзя? Сколько угодно: каждое действительное число определяет сечение. Более интересно, что других нет.

hedgehogues в сообщении #766457 писал(а):

т.е. что оно полно

Полнота — это совсем другое.

Oleg Zubelevich в сообщении #766461 писал(а):

не понял, в каком таком множестве?

Я понял так, что в только что построенном множестве сечений.

Я не совсем так выразился. Ни одного сечения, которое не принадлежит данному множества, а лежит где-то вне него.

[Someone]

Ну нету там сечений, кроме тех, которые соответствуют действительным числам. И что?

P.S. Не надо цитировать сразу всё сообщение, поскольку непонятно, к чему Ваше высказывание относится.